Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, — алгебра матриц. При таком «предварительном» введении понятий матричной алгебры определения могут выглядеть недостаточно мотивированными. Однако их смысл проясняется в дальнейшем изложении курса.

Действия над матрицамиПравить

Определение матрицыПравить

Определение Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных). Эти числа[1] называют элементами матрицы. Матрицу будем записывать следующим способом:

(1)

 

Элементы   нумеруются двумя индексами; первый из них есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — номер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы (1) употребляется также краткое обозначение, которое явно указывает на её размеры:

(2)

 

Матрица, составленная из m строк и n столбцов, называется (m х n)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, при последовательном выписывании коэффициентов при неизвестных в системе из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Множество всех (m х n)-матриц будем обозначать через  . В некоторых случаях будем обозначать элемент   матрицы А, как  

Линейные действия над матрицамиПравить

Введем линейные действия над матрицами — сложение матриц и умножение матрицы на число. Сложение матриц определяется только для матриц совпадающих размеров: если  , то  , где

(3)

 

Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сложении. Умножение матрицы на число состоит в умножении на это число каждого элемента матрицы. Для произведения матрицы А на число   используется как обозначение  A, так и обозначение A . Таким образом,

(4)

 

Ясно, что  , если  . При этом предполагается, что в случае вещественных матриц их можно умножать на вещественные множители. В классе комплексных матриц подразумевается умножение на комплексные числа. Перечислим свойства линейных операций в классе матриц  

Действия транспонирования и сопряженияПравить

http://www.pm298.ru/matr3.php

ПримечанияПравить

  1. Иногда рассматривают матрицы, составленные не из чисел, а из элементов другой природы.