Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства
- Предварительные понятия
- Метод координат
- Алгебраические линии первого и второго порядка
- Комплексные числа
- Матрицы и определители
- Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
- Системы линейных уравнений
- Определение векторного пространства
- Линейно-зависимые системы векторов
- Подпространства векторного пространства
- Линейные многообразия
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Линейные пространства. Линейные преобразования
- Задачи
Центральными понятиями линейной алгебры является вектор и векторное пространство. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель: «Забудьте, что вектор — это палка со стрелкой!!!» ☺) — примечание автора 194.67.2.153.) Для того, чтобы понять, что такое вектор, воспользуемся так называемым аксиоматическим методом. Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок — лишь частный случай, пример (модель — как говорят математики) этого понятия.
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае — «вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые, в свою очередь, описываются в предложениях, именуемых аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём векторным пространством. Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале «Квант»,1976 г., № 4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», [1].)
Аксиомы векторного пространства
правитьПусть V — непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать … и т. д. Пусть на V заданы и определены́ каким-либо образом две операции. Первая операция — бинарная аддитивная операция (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100 % эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: ( ). Вторая операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор ( ). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел).
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
- a)сумма любых двух элементов из V и б)произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).
- сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно):
- сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): .
- существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого .
- для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна , то есть ( .
Для любых скаляров (чисел) и и для любых двух векторов из V
6.
7.
8.
9.
Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами абелевой группы.
Примеры векторных пространств
править- Конечномерное арифметическое пространство
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а R — множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки , a числа называют ещё первой, второй и т. д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим Rn. Введём операции сложения векторoв по такой формуле:
a yмножение на скаляр α (то есть на действительное число) по такой формуле:
то есть сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть, что на множестве Rn с только что определёнными выше операциями выполняются все 8 аксиом, то есть Rn-векторное пространство.
Действительно, пусть =(a1, a2, a3,… an), =(b1, b2, b3,… bn), =(c1, c2, c3,… cn)- произвольные векторы из Rn, а α и β-произвольные числа (скаляры). Тогда
- =(a1+b1, a2+b2, a3+b3,… an+bn) V; (αa1, αa2, αa3,…αan) V.
- ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2,…(an+bn)+cn)=(a1+(b1+c1), a2+(b2+c2),…an+(bn+cn))=
- =(a1+b1, a2+b2,…an+bn)=(b1+a1, b2+a2,…bn+an)= .
- Примем за нулевой вектор строку из n нулей (0,0,…0). Тогда =(a1+0, a2+0, a3+0,… an+0)=
- Найдём для вектора обратный ему вектор такой, что . Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно, то . Отсюда , и вектор .
- Пусть α и β-произвольные числа. Тогда
α , то естьАксиомы 7, 8, 9 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения.
- Бесконечномерное арифметическое пространство
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, то есть . Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают .
- Пространство матриц
Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа. Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. здесь) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком.
- Ещё примеры
Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- действительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплексных чисел, (то есть координаты вектора будут комплексными числами), относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр, являющегося тоже комплексным числом, тоже образуют векторное пространство (обозначим его Cn) и при этом Rn Cn.
Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.
Упражнения
править- Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
- Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
- Покажите, что множество всех функций, заданных наR проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует.
Свойства векторных пространств
правитьПриведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.
Пусть V-произвольное векторное пространство а P▬произвольное множество, являющееся полем. (В примерах, которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения: 1
Согласно акс.4 . С другой стороны (по акс.9) (по акс.7) . То есть . Согласно свойству 2 в группах последнее равенство равносильно , ч.т.д.
2 3
4
(по акс.9) (по акс.7) (по св-ву 2 вект. пространства) Т.о. с одной стороны , с другой стороны по акс.4 . Отсюда, как и в свойстве 1, сокращая на , получаем
5
Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно.