Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

ВекторыПравить

Упорядоченные наборы чиселПравить

вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )

Сумма векторов и умножение вектора на скалярПравить

Системы линейных уравненийПравить

Метод ГауссаПравить

ЗадачиПравить

  1. Дана система уравнений:

     

    Для каких значений   существует:
    1. единственное решение?
    2. бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
  2. Дана система уравнений:

     

    1. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является  .
    2. Предположем, что   и  .
      1. Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
      2. Предположим,   какое-то нетривиальное решение системы  . Докажите, что   является множеством решений системы.
  3. Предположим   линейно-независимые векторы в  . В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
    1.  
    2.  .

Пространство Править

ЗадачиПравить

  1. Покажите, что линейная оболочка векторов   совпадает с пространством  .
    • Мы должны показать, что произвольный вектор   в   — линейная комбинация векторов  , то есть

       

      или, другими словами,

       

      Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:

       

      Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение:  .

      Следовательно, произвольный вектор из   является линейной комбинацией векторов  , т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.


Матрицы и детерминантыПравить

Поле комплексных чиселПравить

↑====Задачи====

  1. Найти тригонометрическое представление комплексного числа  .
    • Для начала запишем   в стандартном виде ( ).

      Используем формулу   для тригонометрического представление комплексного числа.

      Используем формулу   и найдём  .  .  .
       
       
  2. Доказать  .
  3. Доказать  .
    •  

       

       .

Линейные (векторные) пространстваПравить

ЗадачиПравить

  1. Докажите или опровергните:  .
    • Во-первых,

Базис и размерностьПравить

Теорема:


Пусть К подмножество

  • Доказательство:

    Первый способ

Линейная зависимостьПравить

Определение


Базис линейного пространстваПравить

Определение


ЗадачиПравить

  1. Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:

     

Размерность конечномерного линейного пространстваПравить

Определение


КоординатыПравить

Определение


ЗадачиПравить

  1. Пусть U и W следующие подпространства  :

     

     

    1. Найдите базис и размерность для  
      .
    2. Найдите  . Найдите базис  .
  2. Докажите, что множество   является базисом для  .
    • Во-первых, докажем, что данное множество матриц   линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:

        (*)

      или

       .

      Полученное равенство равнозначно системе уравнений:

       

      У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 ( ). То есть, В является базисом  .
  3. Найдите координаты матриц   и   относительно упорядоченного базиса  .
    • a) Найдем коэффициенты  , для которых

       

      Это равенство выполняется при условии, что:

       

      Единственным решением данной системы будет  . Следовательно,  

      b) Подобным способом представим матрицу   как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:

       

      Запишем систему:

       

      Единственным решением данной системы будет  . Следовательно,   .

Ранг матрицыПравить

Определение


Линейные трансформацииПравить

ЗадачиПравить

  1. Определим отображение   из пространства   в   :

    для любого вектора  ,

     .

    Докажите, что отображение  

    1.