Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

---

1. Предварительные понятия
2. Метод координат
3. Алгебраические линии первого и второго порядка
4. Комплексные числа
5. Матрицы и определители
6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
7. Системы линейных уравнений
8. Определение векторного пространства
9. Линейно-зависимые системы векторов
10. Подпространства векторного пространства
11. Линейные многообразия
12. Аналитическая геометрия в пространстве
13. Линейные пространства. Линейные преобразования
14. Задачи

Векторы

Упорядоченные наборы чисел

вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )

Системы линейных уравнений

Метод Гаусса

Задачи

1. Дана система уравнений:
   
   ${\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcc}ax&+&y&+&z&=&4\\x&+&by&+&z&=&3\\x&+&2by&+&z&=&4\end{array}}\end{cases}}$
   
   Для каких значений $\ a,b$ существует:
   1. единственное решение?
   2. бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
2. Дана система уравнений:
   
   ${\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}ax&+&by&=&0\\cx&+&dy&=&0\end{array}}\end{cases}}(*)$
   
   
   1. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является $\ ad-bc\neq 0$.
   2. Предположем, что $\ A\neq 0$ и $\ ad-bc=0$.
      1. Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
      2. Предположим, $\ (x_{0},~y_{0})$ какое-то нетривиальное решение системы $\ (*)$. Докажите, что $S=\left\{(\lambda x_{0},~\lambda y_{0})~|~\lambda \in \mathbb {R} \right\}$ является множеством решений системы.
3. Предположим $u,v,w$ линейно-независимые векторы в $\mathbb {R} ^{n}$. В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
   1. $\ u-v-w,~u+v-2w,~u+w$
   2. $\ u+3v-w,~u+v-3w,~v+w$.

Пространство $\mathbb {R} ^{n}$

Задачи

1. Покажите, что линейная оболочка векторов $u_{1}=\left(1,~1,~1\right),u_{2}=\left(1,~2,~3\right),u_{3}=\left(1,~5,~8\right)$ совпадает с пространством $\mathbb {R} ^{3}$.
   • Мы должны показать, что произвольный вектор $v=\left(a,~b,~c\right)$ в $\mathbb {R} ^{3}$ — линейная комбинация векторов $\ ~u_{1},~u_{2},~u_{3}$, то есть
     
     $\ v=xu_{1}+yu_{2}+zu_{3}$
     
     или, другими словами,
     
     $\left(a~,b,~c\right)=x\left(1,~1,~1\right)+y\left(1,~2,~3\right)+z\left(1,~5,~8\right)=\left(x+y+z,~x+2y+5z,~x+3y+8z\right)$
     
     Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:
     
     ${\begin{cases}x+y+z=a\\x+2y+5z=b\\x+3y+8z=c\end{cases}}~\longrightarrow ~{\begin{cases}x+y+z=a\\y+4z=b-a\\2y+7z=c-a\end{cases}}~\longrightarrow ~{\begin{cases}x+y+z=a\\y+4z=b-a\\z=-c+2b-a=\end{cases}}$
     
     Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: $\ x=-a+5b-3c,~y=3a-7b+4c,~z=-a+2b-c$.
     
     Следовательно, произвольный вектор из $\mathbb {R} ^{3}$ является линейной комбинацией векторов $\ ~u_{1},~u_{2},~u_{3}~$, т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.

Поле комплексных чисел

↑====Задачи====

1. Найти тригонометрическое представление комплексного числа $\ i-1$.

   • Для начала запишем $\ i-1$ в стандартном виде ($\ z=a+bi$).

     Используем формулу $\ r(\cos {\Theta }+i\sin {\Theta })$ для тригонометрического представление комплексного числа.

     Используем формулу $\ r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ и найдём $\ r$. $\ r={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}$. $\cos {\Theta }\ r=\ a$.
     $\cos {\Theta }*{\sqrt {2}}=-1$
     $\cos {\Theta }=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}=-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$
2. Доказать ${\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{b+ia}}\end{vmatrix}}=1$.
3. Доказать ${\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{a-ib}}\end{vmatrix}}=1$.
   • ${\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{a-ib}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {(a+ib)(a+ib)}{(a+ib)(a-ib)}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {a^{2}+2abi-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\dfrac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}i\end{vmatrix}}=$
     
     $={\sqrt {{\dfrac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\dfrac {4a^{2}b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}i}}={\sqrt {\dfrac {a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}+4a^{2}b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\sqrt {\dfrac {a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}{a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}}}=$
     
     $={\sqrt {1}}=1$.

Линейные (векторные) пространства

Задачи

1. Докажите или опровергните: $\mathbb {R} _{4}\left[x\right]=Sp{\big \{}x^{2}-x^{3},x-x^{3}{\big \}}\oplus Sp{\big \{}x^{2}+1,x+2{\big \}}$.
   • Во-первых,

Базис и размерность

Теорема:

---

Пусть К подмножество

• Доказательство:

  Первый способ

Линейная зависимость

Определение

---

Базис линейного пространства

Определение

---

Задачи

1. Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:
   
   ${\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcrcc}x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&-&x_{4}&=&0\\x_{1}&+&2x_{2}&+&x_{3}&-&2x_{4}&=&0\\3x_{1}&+&4x_{2}&+&3x_{3}&-&4x_{4}&=&0\\2x_{1}&+&3x_{2}&+&2x_{3}&-&3x_{4}&=&0\end{array}}\end{cases}}$

Размерность конечномерного линейного пространства

Определение

---

Координаты

Определение

---

Задачи

1. Пусть U и W следующие подпространства $\mathbb {R} _{4}[x]$:
   
   $\ U=Sp\{x^{3}+4x^{2}-x+3,x^{3}+5x^{2}+5,3x^{3}+10x^{2}+5\}$
   
   $\ W=Sp\{x^{3}+4x^{2}+6,x^{3}+2x^{2}-x+5,2x^{3}+2x^{2}-3x+9\}$
   
   
   1. Найдите базис и размерность для $\ U,W,U+W$
      .
   2. Найдите $\dim {(U\cap W)}$. Найдите базис $U\cap W$.
      
2. Докажите, что множество $\mathrm {B} ={\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\end{Bmatrix}}$ является базисом для $M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} }$.
   
   • Во-первых, докажем, что данное множество матриц $\mathrm {B}$ линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:
     
     $\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ (*)
     
     или
     
     ${\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$.
     
     Полученное равенство равнозначно системе уравнений:
     
     ${\begin{cases}\lambda _{1}+\lambda _{2}=0\\2\lambda _{1}+\lambda _{3}=0\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}=0\\\lambda _{2}+\lambda _{4}=0\end{cases}}$
     
     У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 ($\dim(M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} })=4$). То есть, В является базисом $M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} }$.
3. Найдите координаты матриц $\mathrm {M} _{1}={\begin{bmatrix}1&7\\1&-1\end{bmatrix}}$ и $\mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}3&3\\1&-1\end{bmatrix}}$ относительно упорядоченного базиса $\mathrm {B} ={\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\end{Bmatrix}}$.
   
   • a) Найдем коэффициенты $\ ~\lambda _{1},~\lambda _{2},~\lambda _{3},~\lambda _{4}$, для которых
     
     $\mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}1&7\\1&-1\end{bmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}$
     
     Это равенство выполняется при условии, что:
     
     ${\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcrcc}\lambda _{1}&+&\lambda _{2}&=&1\\2\lambda _{1}&+&\lambda _{3}&=&7\\2\lambda _{2}&+&\lambda _{3}&=&1\\\lambda _{2}&+&\lambda _{4}&=&-1\end{array}}\end{cases}}$
     
     Единственным решением данной системы будет $\left(2,-1,3,0\right)$. Следовательно, $\left[\mathrm {M} _{1}\right]_{\mathrm {B} }={\begin{bmatrix}2\\-1\\3\\0\end{bmatrix}}$
     
     b) Подобным способом представим матрицу $\mathrm {M} _{2}$ как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:
     
     $\mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}3&3\\1&-1\end{bmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}$
     
     Запишем систему:
     
     ${\begin{cases}\lambda _{1}+\lambda _{2}=3\\2\lambda _{1}+\lambda _{3}=3\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}=1\\\lambda _{2}+\lambda _{4}=-1\end{cases}}$
     
     Единственным решением данной системы будет $\left(2,1,-1,-2\right)$. Следовательно, $\left[\mathrm {M} _{2}\right]_{\mathrm {B} }={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\\-2\end{bmatrix}}$ .
     

Ранг матрицы

Определение

---

Линейные трансформации

Задачи

1. Определим отображение $T:R^{n}\to R_{n}[x]$ из пространства $\ R^{n}$ в $\ R_{n}[x]~$ :

   для любого вектора $\ ~{\underline {a}}=(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\in R^{n}~$,

   $\ T({\underline {a}})=\alpha _{1}+\alpha _{2}x+\cdots +\alpha _{n}x^{n-1}~$.

   Докажите, что отображение $T:R^{n}\to R_{n}[x]~$

   1. ${\underline {a}},{\underline {b}}\in R^{n}$