править
В Кеплеровой задаче можно вычислить интеграл (1.4.28)
t
=
∫
d
r
2
m
(
−
|
E
|
−
U
)
−
M
2
m
2
r
2
{\displaystyle t=\int \displaystyle {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(-\vert E\vert -U\right)-{\frac {M^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}}}
(1.4.49)
Подставим (1.4.38) (1.4.49)
U
=
−
α
r
t
=
m
2
|
E
|
∫
r
d
r
−
r
2
+
r
α
|
E
|
−
M
2
2
m
|
E
|
{\displaystyle {\begin{aligned}&U=-{\frac {\alpha }{r}}\\&t={\sqrt {\frac {m}{2\vert E\vert }}}\int {\frac {rdr}{\displaystyle {\sqrt {-{r^{2}}+r{\frac {\alpha }{\vert E\vert }}-{\frac {M^{2}}{2m\vert E\vert }}}}}}\\\end{aligned}}}
(1.4.50)
После подстановки (1.4.42) (1.4.44) (1.4.50)
t
=
m
a
α
∫
r
d
r
a
2
e
2
−
(
r
−
a
)
2
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {rdr}{\sqrt {a^{2}e^{2}-(r-a)^{2}}}}}
(1.4.51)
Интеграл (1.4.51)
r
−
a
=
−
a
e
cos
θ
r
d
r
=
(
a
−
a
e
cos
θ
)
a
e
sin
θ
d
θ
t
=
m
a
α
∫
(
a
−
a
e
cos
θ
)
a
e
sin
θ
d
θ
a
e
1
−
cos
2
θ
=
m
a
3
α
∫
(
1
−
e
cos
θ
)
d
θ
⇓
t
=
m
a
3
α
(
θ
−
e
sin
θ
)
+
c
o
n
s
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&r-a=-ae\cos \theta \\&rdr=\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta \\&{\begin{matrix}t=\displaystyle {\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta }{ae{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\int {\left(1-e\cos \theta \right)d\theta }\\\Downarrow \\\displaystyle t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)+const\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}}
(1.4.52)
Выбирая начало отсчета времени так, чтобы константа в (1.4.52)
r
=
a
(
1
−
e
cos
θ
)
t
=
m
a
3
α
(
θ
−
e
sin
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&r=a\left(1-e\cos \theta \right)\\&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)\\\end{aligned}}}
(1.4.53)
Декартовые координаты траектории можно также выразить из (1.4.53)
θ
{\displaystyle \theta }
(1.4.43)
x
=
r
cos
φ
y
=
r
sin
φ
p
=
r
+
e
r
cos
φ
}
⇒
e
x
=
p
⏟
a
(
1
−
e
2
)
−
r
⏟
a
(
1
−
e
cos
θ
)
=
a
e
(
cos
θ
−
e
)
⇓
{
x
=
a
(
cos
θ
−
e
)
y
=
r
2
−
x
2
=
a
1
−
e
2
sin
θ
{\displaystyle {\begin{matrix}\left.{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \\&p=r+er\cos \varphi \\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow ex=\underbrace {p} _{a\left(1-e^{2}\right)}-\underbrace {r} _{a\left(1-e\cos \theta \right)}=ae\left(\cos \theta -e\right)\\\Downarrow \\\left\{{\begin{aligned}&x=a\left(\cos \theta -e\right)\\&y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta \\\end{aligned}}\right.\\\end{matrix}}}
(1.4.54)
Мы получили формулы для эллиптической траектории. Для случая гиперболической траектории (при инфинитном движении E>0), интеграл (1.4.28)
r
=
a
(
e
⋅
ch
θ
−
1
)
;
t
=
m
a
3
α
(
e
⋅
sh
θ
−
θ
)
x
=
a
(
e
−
ch
θ
)
;
y
=
a
e
2
−
1
⋅
sh
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}r=a\left(e\cdot {\text{ch}}\theta -1\right);&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(e\cdot {\text{sh}}\theta -\theta \right)\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}x=a\left(e-{\text{ch}}\theta \right);&y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\cdot {\text{sh}}\\\end{matrix}}\theta \\\end{aligned}}}
(1.4.55) 
