1.4.6. Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера
править
В Кеплеровой задаче можно вычислить интеграл (1.4.28) и получить выражение для времени в явном виде. Для эллиптической орбиты (при E<0) получим:
t = ∫ d r 2 m ( − | E | − U ) − M 2 m 2 r 2 {\displaystyle t=\int \displaystyle {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(-\vert E\vert -U\right)-{\frac {M^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}}} (1.4.49)
Подставим (1.4.38) в (1.4.49) :
U = − α r t = m 2 | E | ∫ r d r − r 2 + r α | E | − M 2 2 m | E | {\displaystyle {\begin{aligned}&U=-{\frac {\alpha }{r}}\\&t={\sqrt {\frac {m}{2\vert E\vert }}}\int {\frac {rdr}{\displaystyle {\sqrt {-{r^{2}}+r{\frac {\alpha }{\vert E\vert }}-{\frac {M^{2}}{2m\vert E\vert }}}}}}\\\end{aligned}}} (1.4.50)
После подстановки (1.4.42) и (1.4.44) в (1.4.50) получим:
t = m a α ∫ r d r a 2 e 2 − ( r − a ) 2 {\displaystyle t={\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {rdr}{\sqrt {a^{2}e^{2}-(r-a)^{2}}}}} (1.4.51)
Интеграл (1.4.51) можно взять аналитически, если сделать замену переменных:
r − a = − a e cos θ r d r = ( a − a e cos θ ) a e sin θ d θ t = m a α ∫ ( a − a e cos θ ) a e sin θ d θ a e 1 − cos 2 θ = m a 3 α ∫ ( 1 − e cos θ ) d θ ⇓ t = m a 3 α ( θ − e sin θ ) + c o n s t {\displaystyle {\begin{aligned}&r-a=-ae\cos \theta \\&rdr=\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta \\&{\begin{matrix}t=\displaystyle {\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta }{ae{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\int {\left(1-e\cos \theta \right)d\theta }\\\Downarrow \\\displaystyle t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)+const\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}} (1.4.52)
Выбирая начало отсчета времени так, чтобы константа в (1.4.52) равнялась нулю, получаем параметрическое уравнение траектории частицы:
r = a ( 1 − e cos θ ) t = m a 3 α ( θ − e sin θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&r=a\left(1-e\cos \theta \right)\\&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)\\\end{aligned}}} (1.4.53)
Декартовые координаты траектории можно также выразить из (1.4.53) через тот же параметр θ {\displaystyle \theta } , воспользовавшись уравнением (1.4.43) :
x = r cos φ y = r sin φ p = r + e r cos φ } ⇒ e x = p ⏟ a ( 1 − e 2 ) − r ⏟ a ( 1 − e cos θ ) = a e ( cos θ − e ) ⇓ { x = a ( cos θ − e ) y = r 2 − x 2 = a 1 − e 2 sin θ {\displaystyle {\begin{matrix}\left.{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \\&p=r+er\cos \varphi \\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow ex=\underbrace {p} _{a\left(1-e^{2}\right)}-\underbrace {r} _{a\left(1-e\cos \theta \right)}=ae\left(\cos \theta -e\right)\\\Downarrow \\\left\{{\begin{aligned}&x=a\left(\cos \theta -e\right)\\&y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta \\\end{aligned}}\right.\\\end{matrix}}} (1.4.54)
Мы получили формулы для эллиптической траектории. Для случая гиперболической траектории (при инфинитном движении E>0), интеграл (1.4.28) также можно вычислить в явном виде через гиперболические функции с синуса и косинуса, и получить следующие параметрические уравнения для координат:
r = a ( e ⋅ ch θ − 1 ) ; t = m a 3 α ( e ⋅ sh θ − θ ) x = a ( e − ch θ ) ; y = a e 2 − 1 ⋅ sh θ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}r=a\left(e\cdot {\text{ch}}\theta -1\right);&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(e\cdot {\text{sh}}\theta -\theta \right)\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}x=a\left(e-{\text{ch}}\theta \right);&y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\cdot {\text{sh}}\\\end{matrix}}\theta \\\end{aligned}}} (1.4.55)