Основы теоретической физики/Энергия и импульс
2.3.5. Энергия и импульсПравить
Зная вид релятивистской функции Лагранжа, можно теперь найти импульс свободной частицы из определения:
Легко заметить, что при малых скоростях получается классическая формула для импульса:
Энергию свободной частицы также можно вычислить через функцию Лагранжа по определению, которое было дано в классической механике:
Формула (2.3.38) означает, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не равна нулю, а остается конечной величиной, даже если скорость частицы равна нулю.
Энергию (2.3.39) называют энергией покоя частицы. Легко показать, что формулы (2.3.38) и (2.3.39) не противоречат классической механике при малых скоростях:
Таким образом, релятивистская механика показывает, что энергия свободной частицы при малых скоростях состоит из двух энергий: энергии покоя и кинетической энергии. Не зависящая от скорости, постоянная величина энергии покоя, никак не учитывается в формулах классической механики поскольку энергия всегда определяется с точностью до произвольной постоянной.
Если объединить (2.3.36) и (2.3.38) , то можно получить две формулы, дающие связь энергии и импульса в релятивистской механике:
Из (2.3.41) легко получить зависимость энергии от импульса – функцию Гамильтона:
При малых скоростях выражение (2.3.43) раскладывается в ряд Тейлора и получается «классическая» функция Гамильтона свободной частицы:
С другой стороны, из (2.3.42) можно получить импульс частицы, движущейся со скоростью света:
Подставляя (2.3.45) в (2.3.41) получим, что масса частицы, движущейся со скоростью света, должна быть равна нулю.