Основы теоретической физики/Принцип наименьшего действия в релятивистской механике

2.3.4. Принцип наименьшего действия в релятивистской механике

Принцип наименьшего действия является основополагающим постулатом не только в классической, но и в релятивистской механике. Общая формулировка этого принципа не изменяется: для всякой механической системы существует интеграл, называемый действием, траектория движения системы должна быть такой, чтобы вариация действия равнялась нулю.

Чтобы принцип наименьшего действия согласовался с принципом относительности Эйнштейна, действие не должно зависеть от выбора системы отсчета. Поэтому естественно предположить, что действие S, в релятивистской механике пропорционально интервалу s:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.29)

Если говорить о действии свободной частицы, то интеграл  (2.3.29)  берется по мировой линии между двумя событиями a и b в моменты времени t₁ и t₂. Коэффициент пропорциональности α – это постоянная которая является внутренней характеристикой частицы.

С другой стороны, действие в общем случае, выражается через функцию Лагранжа как интеграл по времени:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.30)

Можно приравнять  (2.3.29)  к  (2.3.30)  и воспользовавшись определением интервала получить функцию Лагранжа в релятивистской механике:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.31)

При малых скоростях ($V\ll c$) выражение  (2.3.31)  можно разложить в ряд Тейлора:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.32)

Первое слагаемое в  (2.3.32)  – это константа, которую в функции Лагранжа можно не учитывать, значит для малых скоростей имеем:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.33)

Можно найти теперь коэффициент α если сравнить формулу  (2.3.33)  с «классической» функцией Лагранжа свободной частицы:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.34)

Подставив  (2.3.34)  в  (2.3.29)  и в  (2.3.31) , получим окончательный вид действия и функции Лагранжа для релятивистской свободной частицы:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.35)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление