Основы алгебры/Линейные неравенства

Определение

Линейным неравенством (неравенство первой степени с одним неизвестным) называется неравенство видов

ax+b<0

,

ax+b\leqslant 0

,

ax+b>0

,

ax+b\geqslant 0

,

ax+b

≠

0

и любое другое неравенство приводимое к такому виду (например,

ax+b<cx+d

). При этом неизвестное не должно находиться в знаменателе.

$a$ — коэффициент при неизвестной переменной,
$b$ — свободный член (любое число).

Решить неравенство значит найти такие значения неизвестной величины, что при подстановке каждого из них вместо переменной $x$ , получается верное неравенство.

Примеры линейных неравенств:

2x+1>0

. Решение этого неравенства:

x>-{\frac {1}{2}}

.

-3x+1\leqslant x-7

. Решение этого неравенства:

x\geqslant 2

.

При решении в подавляющем большинстве случаев пригождается правило переноса слагаемого.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной после тождественных преобразований

ax+b>0

, a ≠ 0

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

ax>-b

Приведём подобные слагаемые:

ax>-b

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при иксе (в нашем примере это a), после этого $x$ останется без коэффициента:

ax:(a)>-b:(a)

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

x>-b:(a)

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число -b: (a) решением этого неравенства, необходимо подставить в уравнение, сделанное заменой в изначальном неравенстве > на =, вместо икса это самое число:

a(-b:(a))+b=0

(то есть

0=0

)

Так как это равенство является верным, то -b: (a) действительно является корнем уравнения, сделанного заменой в изначальном неравенстве > на =.

Ответ: $x>-b:(a)$ , a ≠ 0

Пример 1

Решим неравенство:

5x+2>7x-6

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

5x-7x>-6-2

Приведём подобные слагаемые:

-2x>-8

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это −2), после этого $x$ останется без коэффициента, а неравентво поменяет направление с больше на меньше:

-2x:(-2)>-8:(-2)

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

x<4

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число 4 решением этого неравенства, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

5\cdot 4+2>7\cdot 4-6

(то есть

22>22

)

Так как это неравенство является неверно, то 4 не является решением неравенства.

Значит надо для проверки взять число больше 4:

5\cdot 5+2<7\cdot 5-6

(то есть

27<29

)

Так как это неравенство является верным, то решение состоялось.

Ответ: $x<4$

Пример 2

Решим неравенство:

{\frac {5}{7}}x+2>{\frac {1}{7}}x-7

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на $7$ :

5x+14>x-49

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

4x>-63

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на $4$ ) и получим:

x>-63:4=-{\frac {63}{4}}=-15{\frac {3}{4}}

Ответ: $x>-15{\frac {3}{4}}$

Пример 3

Решим неравенство:

{\frac {5x-1}{7}}+x>{\frac {1}{5}}x-7

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на общий знаменатель $35$ :

35({\frac {5x-1}{7}}+x)>35({\frac {1}{5}}x-7)

Раскрываем скобки:

{\frac {35(5x-1)}{7}}+35x>{\frac {35}{5}}x-245

Сокращаем дроби:

25x-1+35x>7x-245

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

53x>-244

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$ (на $53$ ) и получим:

x>-244:53=-{\frac {244}{53}}=-4{\frac {32}{53}}

Ответ: $x>-4{\frac {32}{53}}$

Пример 4

Решим неравенство:

x{\sqrt {5}}-1>0

Вначале избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножая каждое слагаемое на ${\sqrt {5}}$ :

5x-{\sqrt {5}}>0

5x>{\sqrt {5}}

x>({\sqrt {5}}):5

Но такая форма считается упрощаемой, так как в числе располагается корень числа в знаменателе. Требуется упростить ответ домножением числителя и знаменателя на одно и то же число, в данном случае на ${\sqrt {5}}$ :

x>({\sqrt {5}})({\sqrt {5}}):(5)({\sqrt {5}})

x>5:(5)({\sqrt {5}})

x>1:{\sqrt {5}}

Ответ: $x>1:{\sqrt {5}}$

Пример 5

Решим неравенство:

{\frac {5}{3}}x-7>{\frac {7}{3}}x-7

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

0>{\frac {2}{3}}x

Разделим обе части неравенствана коэффициент при x (на ${\frac {2}{3}}$ ) и получим:

0>x

Так как это неравенство вида $ax+b>0$ , то при взаимном переносе частей знак неравенства меняется, значит решением этого неравенства будет $x<0$ . Обратите внимание, что здесь ноль — это свободный член, а не коэффициент при $x$ . Поэтому в отличие от следующих примеров, у этого неравенства есть решение.

Ответ: $x<0$

Пример 6

Решим неравенство с параметрами:

a\,x+1>4

, относительно x.

Если a=0, то решений нет, так как 1<4. Иначе:

$a\,x+1-4>0$; $a\,x-3>0$; $a\,x>3$; $x>3/a$
Ответ: $x>3/a$ , если a=0, то решений нет

Случай отсутствия решений

Решим неравенство:

2x+3>2x+7

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим неравенство:

0\cdot x>4

Какой бы $x$ мы ни взяли, это неравенство не превратится в верное. Значит, это неравенство не имеет решений. В данном случае нельзя было поступить так же, как в первом примере, поскольку делить на ноль нельзя.

Ответ: Решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений

Решим неравенство:

2x+3\leqslant 2x+3

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим неравенство:

0\cdot x\leqslant 0

В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное неравенство. Значит, любое число является решением этого неравенства. Таким образом, у этого неравенства бесконечно много решений (тут неравенство сводится к уравнению).