Основы алгебры/Уравнения, сводящиеся к квадратным

Большинство уравнений, сводящихся к квадратным, решаются при помощи замены переменной. Ниже приведены несколько примеров в действительных числах.

Уравнения, содержащие модуль

Пример О.1

$x^{2}+2|x|-3=0$. Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $t^{2}+2t-3=0$.

По формулам Виета, получим:

$t_{1}=1\to |x|=1\to x=\pm 1$

$t_{2}=-3\to |x|=-3\to$ решений нет

Ответ

$x_{1,2}=\pm 1$

Пример О.2

$x^{2}+4x+|x+2|+5=0$. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:

$x^{2}+4x+4+|x+2|-4+5=0$

$(x+2)^{2}+|x+2|+1$

Замена: $|x+2|=t,t\geqslant 0$

$t^{2}+t+1=0$

$D<0$ решений нет

Ответ

Решений нет

Биквадратное уравнение

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^{4}+bx^{2}+c,\quad a,b,c\in \mathbb {R} ,a\not =0$

Такое уравнение сводится к квадратному заменой $x^{2}=t,t\geqslant 0$.

Пример

$x^{4}-3x^{2}+1=0$

Сделаем замену $x^{2}=t,t\geqslant 0$. Получим:

$t^{2}-3t+1=0$

$t_{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}>0\to x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ и

$t_{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}>0\to x_{3,4}=\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Ответ

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$ и $x_{3,4}=\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Симметрическое уравнение четвёртой степени

Симметрическим уравнением называют уравнение вида $\pm ax^{4}\pm bx^{3}+cx^{2}\pm bx\pm a=0,$ где $a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0$.

Очевидно, $x=0$ не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на $x^{2}\neq 0$. Получим:

$\pm ax^{2}\pm bx+c\pm {\frac {b}{x}}\pm {\frac {a}{x^{2}}}=0$.

Перегруппируем слагаемые: $\pm a(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})\pm b(x+{\frac {1}{x}})+c=0$.

Заметим, что $(x+{\frac {1}{x}})^{2}=x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+2$.

Сделаем замену: $t=x+{\frac {1}{x}}$. Тогда $x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=t^{2}-2$.

Получим квадратное уравнение относительно t: $\pm a(t^{2}-2)\pm bt+c=0$.

Чтобы найти x, необходимо подставить найденные значения t в уравнение: $x^{2}-tx+1=0$.