Основы алгебры/Квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение, содержащее $x^{2}$, то есть $ax^{2}+bx+c=0,a\not =0$ (так как если $a=0$, то это линейное уравнение)

Примеры квадратных уравнений

$x^{2}=0$ ,

$x^{2}-1=0$ ,

$x^{2}-2x+1=0$ ,

$4x^{2}+9x+25.5=0$ ,

$-3x+{\sqrt {2}}x-32=0$.

Иногда квадратными называются уравнения, элементарно приводимые к виду $ax^{2}+bx+c=0$. Например,

$x^{2}=1$ приводится к $x^{2}-1=0$,

$(x-1)^{2}=0$ приводится к $x^{2}-2x+1=0$,

$(x-1)^{2}=4$ приводится к $x^{2}-2x+1=4$, что приводится к $x^{2}-2x-3=0$.

Решение квадратных уравнений

1. Приведём уравнение к виду $ax^{2}+bx+c=0$, воспользовавшись правилом переноса слагаемого
2. Находим дискриминант $D=b^{2}-4ac$
3. В зависимости от знака дискриминанта:
   • $D<0$ — вещественных корней нет; существуют два сопряжённых комплексных корня: $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}};$
   • $D=0$ — один вещественный корень (два совпадающих корня): $x=-{\frac {b}{2a}};$
   • $D>0$ — два различных вещественных корня: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Примеры

Пример 1

Решить уравнение: $x^{2}-4x=5$.

Решение

Для начала приведём уравнение к виду $ax^{2}+bx+c=0$, воспользовавшись правилом переноса слагаемого:

$x^{2}-4x-5=0$.

Вычислим дискриминант:

$D=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$

Применим формулу, получим:

$x_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 1}}={\frac {4\pm 6}{2}}=5;-1$

Ответ

$x_{1}=-1;x_{2}=5$.

Пример 2

Решить уравнение: $-2x^{2}+5x-7.5=0$.

Решение

Вычисляем дискриминант:

$D=5^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-7.5)=25-60=-35$.

Значение дискриминанта получилось отрицательным, и вещественных корней уравнение иметь не будет.

Ответ

Нет вещественных корней.

Пример 3

Решить уравнение: $9x^{2}-42x+49=0$.

Решение

Вычисляем дискриминант:

$D=42^{2}-4\cdot 9\cdot 49=1764-1764=0$.

Значение дискриминанта равно 0, значит у данного уравнения будет ровно один действительный корень (так как два действительных значения совпадают). По формуле получаем:

$x=-{\frac {b}{2a}}=-{\frac {(-42)}{2\cdot 9}}={\frac {7}{3}}$.

Ответ

$x={\frac {7}{3}}$.

Пример 4

Решить уравнение: $x^{2}-5x+6=0$.

Решение

Попробуем не вычислять дискриминант, а воспользоваться готовой формулой:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {5\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot 6}}}{2\cdot 1}}={\frac {5\pm 1}{2}}=3;2$

Ответ

$x_{1,2}=3;2$.

Пример 5

Решить квадратное уравнение с параметрами: ${\frac {a^{2}+b^{2}+1}{ab}}=3$, относительно a.

Решение

Делить на 0 нельзя, поэтому устанавливаем ограничение: $ab$≠$0$

$a^{2}+b^{2}+1=3ab$

$a^{2}+b^{2}+1-3ab=0$

$a^{2}-3ab+b^{2}+1=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=(-3b)^{2}-4\cdot 1\cdot (b^{2}+1)=9b^{2}-4b^{2}-4=5b^{2}-4$.

Далее варианты в зависимости от b: 1) b= 0. Срабатывает ограничение $ab$≠$0$ 2) b> 0 и b<0 . Тогда решение продолжается.

Решим уравнение относительно b, $5b^{2}-4=0$

$({\sqrt {5}}b+2)({\sqrt {5}}b-2)=0$

$b_{1,2}=\pm {\frac {2}{\sqrt {5}}}$

Далее варианты в зависимости от D:

1) При $5b^{2}-4<0$, решений нет

2) При $5b^{2}-4=0$, единственный корень

$a=-{\frac {\sqrt {5b^{2}-4}}{2}};$

3) При $5b^{2}-4>0$, 2 корня

$a={\frac {3b\pm {\sqrt {5b^{2}-4}}}{2}};$