Основы алгебры/Квадратные уравнения

Определение квадратного уравненияПравить

Квадратное уравнение — это уравнение, содержащее  , то есть   (так как если  , то это линейное уравнение)


Примеры квадратных уравненийПравить

  ,

  ,

  ,

  ,

 .

Иногда квадратными называются уравнения, элементарно приводимые к виду  . Например,

  приводится к  ,

  приводится к  ,

  приводится к  , что приводится к  .

Решение квадратных уравненийПравить

  1. Приведём уравнение к виду  , воспользовавшись правилом переноса слагаемого
  2. Находим дискриминант  
  3. В зависимости от знака дискриминанта:
    •   — вещественных корней нет; существуют два сопряжённых комплексных корня:  
    •   — один вещественный корень (два совпадающих корня):  
    •   — два различных вещественных корня:  

ПримерыПравить

Пример 1Править

Решить уравнение:  .

Решение

Для начала приведём уравнение к виду  , воспользовавшись правилом переноса слагаемого:

 .

Вычислим дискриминант:

 

Применим формулу, получим:

 

Ответ
 .

Пример 2Править

Решить уравнение:  .

Решение

Вычисляем дискриминант:

 .

Значение дискриминанта получилось отрицательным, и вещественных корней уравнение иметь не будет.

Ответ
Нет вещественных корней.

Пример 3Править

Решить уравнение:  .

Решение

Вычисляем дискриминант:

 .

Значение дискриминанта равно 0, значит у данного уравнения будет ровно один действительный корень (так как два действительных значения совпадают). По формуле получаем:

 .

Ответ
 .

Пример 4Править

Решить уравнение:  .

Решение

Попробуем не вычислять дискриминант, а воспользоваться готовой формулой:

 

Ответ
 .

Пример 5Править

Решить квадратное уравнение с параметрами:  , относительно a.

Решение

Делить на 0 нельзя, поэтому устанавливаем ограничение:   

 

 

 

Вычисляем дискриминант:

 .

Далее варианты в зависимости от b: 1) b= 0. Срабатывает ограничение    2) b> 0 и b<0 . Тогда решение продолжается.

Решим уравнение относительно b,  

 

 

Далее варианты в зависимости от D:

1) При  , решений нет

2) При  , единственный корень

 

3) При  , 2 корня