Основы алгебры/Дискриминант

< Основы алгебры(перенаправлено с «Дискриминант»)

Определение дискриминантаПравить

Дискримина́нт многочлена  , есть произведение

 , где   — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

СвойстваПравить

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  •  , где   — результант многочлена   и его производной  .
    • В частности, дискриминант многочлена
 
равен, с точностью до знака, определителю следующей  -матрицы:
1     . . .   0 . . . 0
0 1     . . .   0 . . 0
0 0 1     . . .   0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 1     . . .  
      . .   0 0 . . . 0
0       . .   0 0 . . 0
0 0       . .   0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0       . .   0
0 0 0 0 0 0       . .  

ПримерыПравить

  • Дискриминант D квадратного трёхчлена   равен  . При   корней — два, и они вычисляются по формуле
      (1)
  • при   корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
     
  • при   вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
     
  • Дискриминант многочлена   равен
 
  • В частности, дискриминант многочлена   (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен  .