Основы алгебры/Дискриминант

Определение дискриминанта

Дискримина́нт многочлена $p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$, есть произведение

$D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$, где $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$, где $R(p,p')$ — результант многочлена $p(x)$ и его производной $p'(x)$.
  • В частности, дискриминант многочлена

$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

равен, с точностью до знака, определителю следующей $(2n-1)\times (2n-1)$-матрицы:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$

Примеры

• Дискриминант D квадратного трёхчлена $ax^{2}+bx+c$ равен $b^{2}-4ac$. При $D>0$ корней — два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};$ (1)

• при $D=0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x={\frac {-b}{2a}};$

• при $D<0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}.$

• Дискриминант многочлена $a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ равен

$-4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.$

• В частности, дискриминант многочлена $x^{3}+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-27q^{2}-4p^{3}$.