Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

При решении и преобразовании уравнений часто возникает потребность перенести слагаемое из одной стороны уравнения в другую. Необходимо отметить, что слагаемое может быть как со знаком «плюс», так и со знаком «минус». Правило говорит, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак. Также правило работает и для неравенств.

Примеры

править
  •  .

Перенесём сначала   из левой части уравнения в правую:

 .

Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

 

Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус — на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

  •  :
 

Отметим, что в этом примере слагаемым являлось целое выражение  . При этом нельзя отдельно переносить   или  , поскольку это лишь составные части слагаемого. По той же причине нельзя переносить   или  . Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых:   и  . Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.

  • Точно так же можно преобразовывать неравенства. Например:
 

Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:

 , откуда  

Доказательство

править

Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Примеры, иллюстрирующие доказательство

править

Для уравнений

править

Возьмём уравнение:

 

Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей  

 

Слева   сократится с  , и иксов не останется. Справа   сократится с  , и останется  :

 

Теперь можно привести подобные слагаемые:

 
 
 

Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

 
 

Тождество верно.

Правило для уравнений доказано,,,,

Для неравенств

править

Возьмём неравенство:

 

Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части неравенства в правую. Вычтем   из обеих частей. Слева   сократится с  , и иксов не останется. Справа   сократится с   и останется  :

 

Теперь можно привести подобные слагаемые:

 
 
 

Следовательно, 4 — корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.