Высшая математика. Первый семестр

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,

• $\mathbb {R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
• $\mathbb {N}$ означает множество натуральных чисел $\{1;2;3;4;\dots \}$;
• $\mathbb {Z}$ означает множество всех целых чисел $\{\dots ;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots \}$;
• $\varnothing$ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
• $[a;b]$, $[a;b)$, $(a;b]$ и $(a;b)$, где $a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R}$, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается;
• $(-\infty ;b]$, $(-\infty ;b)$, $(a;+\infty )$ и $[a;+\infty )$, где $a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R}$ — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
• $(-\infty ;+\infty )$ — числовая прямая, то же, что и $\mathbb {R}$;
• $A\cap B$ — пересечение (общая часть) множеств $A$ и $B$;
• $A\cup B$ — объединение множеств $A$ и $B$ (все точки из $A$ и все точки из $B$);
• $A\diagdown B$ — множество тех элементов из $A$, которые не принадлежат $B$;
• $A\subset B$ — включение $A$ в $B$ ($A$ — это часть $B$);
• $x\in A$ — принадлежность элемента $x$ множеству $A$ ($x$ принадлежит $A$);
• $x\notin A$ — элемент $x$ не принадлежит множеству $A$;
• $\{a;b;\dots ;z\}$ — множество, состоящее из элементов $a,b,\dots ,z$; в частности, $\{a\}$ — множество из одного элемента $a$;
• $\{x\in A:P(x)\}$ — множество всех тех элементов $x$ из $A$, для которых выполняется свойство $P(x)$.

Вещественные числа

• Область рациональных чисел
• Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
• Арифметические действия над вещественными числами
• Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел

Функции и их графики

• Основные обозначения и определения
• Первый способ задания функции: табличный
• Второй способ задания функции: с помощью формулы
• Обзор некоторых элементарных функций
• Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
• Композиция функций
• Обратная функция
• Упражнения

Пределы

• Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
• Общее определение предела
• Замена переменного и преобразование базы при такой замене
• Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
• Общие свойства пределов
• Первый и второй замечательные пределы
• Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
• Использование непрерывности функций при вычислении пределов
• Сравнение бесконечно малых
• Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$
• Упражнения на вычисление пределов

Непрерывность функций и точки разрыва

• Определение непрерывности функции
• Определение точек разрыва
• Свойства функций, непрерывных в точке
• Непрерывность функции на интервале и на отрезке
• Равномерная непрерывность
• Непрерывность обратной функции
• Гиперболические функции и ареа-функции
• Примеры и упражнения

Производные и дифференциалы

• Мгновенная скорость при прямолинейном движении
• Касательная к кривой на плоскости
• Производная
• Свойства производных
• Производные некоторых элементарных функций
• Дифференциал
• Производная композиции
• Инвариантность дифференциала
• Производная обратной функции
• Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
• Сводка основных результатов о производных
• Производные высших порядков
• Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
• Производные функции, заданной параметрически
• Производная функции, заданной неявно
• Приближённое вычисление производных
• Примеры и упражнения

Свойства дифференцируемых функций

• Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
• Правило Лопиталя
• Сравнение бесконечно больших величин

Формула Тейлора

• Многочлен Тейлора
• Остаток в формуле Тейлора и его оценка
• Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
• Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
• Упражнения

Исследование функций и построение графиков

• Асимптоты графика функции
• Возрастание и убывание функции
• Экстремум функции и необходимое условие экстремума
• Достаточные условия локального экстремума
• Выпуклость функции
• Общая схема исследования функции и построения её графика
• Примеры исследования функций и построения графиков
• Упражнения и задачи

Кривизна плоской кривой

• Кривизна графика функции
• Вершины кривых
• Радиус кривизны
• Упражнения

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

• Отделение корней
• Метод простого перебора
• Метод половинного деления
• Метод простых итераций
• Метод секущих
• Метод одной касательной
• Метод Ньютона (метод касательных)
• Метод хорд (метод линейной интерполяции)
• Приближённое нахождение точки экстремума
• Метод простого перебора
• Метод почти половинного деления
• Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
• Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
• Упражнения

Векторная алгебра

• Определение вектора
• Операции над векторами
• Разложение вектора по базису
• Линейная зависимость векторов
• Система координат и координаты вектора
• Проекции вектора
• Скалярное произведение
• Векторное произведение
• Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
• Смешанное произведение
• Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Прямые линии и плоскости

• Уравнение поверхности
• Уравнение плоскости
• Изображение плоскости
  • Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
  • Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
  • Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
  • Два коэффициента при переменных равны нулю
• Угол между плоскостями
• Расстояние от точки до плоскости
• Прямая на плоскости
• Прямая в пространстве
• Основные задачи на прямую и плоскость

Кривые второго порядка

• Окружность
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола
• Параллельный перенос системы координат

Поверхности второго порядка

• Сфера
• Эллипсоид
• Гиперболоиды
• Конус
• Параболоиды
• Цилиндры
• Параллельный перенос системы координат

Матрицы

• Определение, обозначения и типы матриц
• Сложение матриц и умножение на число
• Символ суммирования
• Умножение матриц
• Транспонирование матрицы
• Определители
• Обратная матрица
• Ранг матрицы

Системы линейных уравнений

• Правило Крамера
• Существование решения системы линейных уравнений общего вида
• Однородная система уравнений
• Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
• Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Алгебраические структуры

• Группы
• Кольца
• Поля

Комплексные числа

• Построение поля комплексных чисел
• Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
• Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
• Тригонометрическая форма комплексного числа
• Показательная форма комплексного числа
• Извлечение корня из комплексного числа
• Корни многочленов

Многомерные пространства

• Линейные пространства
  • Определение и примеры
  • Базис и размерность пространства
  • Координаты векторов
  • Изменение координат вектора при изменении базиса
• Евклидово пространство
• Аффинное $ n$ -мерное пространство

Линейные преобразования

• Определение и примеры
• Матрица линейного преобразования
• Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
• Собственные числа и собственные векторы
• Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
• Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
• Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду