Высшая математика. Первый семестр/Пределы

Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это «что-то» называется пределом величины при данном условии для и обозначается

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Предел функции при x→x0Править

 
Предел при  

Пусть   — это функция вещественного переменного  , определённая во всех точках интервала  , кроме, быть может, точки  . Дадим определение предела величины   при условии, что   стремится к точке  . Это условие кратко обозначается  . Стремление   к   означает, что при своём изменении   оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку  , но не совпадает с  , то есть значение   становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие   значения   становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу  , причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа   можно указать, насколько близко   должен подойти к  , чтобы значения   уже попадали в эту окрестность числа  . Тогда число   есть предел функции   при условии  , что записывается так:

 

Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки   (симметричная относительно  ) характеризуется её полушириной  , то есть имеет вид интервала  . Если значение   попало в такую  -окрестность, то это означает, что  . Любая окрестность точки  , не содержащая самой точки   (и симметричная относительно  ), — это объединение двух смежных интервалов3  . Попадание точки   в эту окрестность означает, что выполнено неравенство   и  . Равенство   означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа   можно найти такое число   (зависящее от  ), что при   будет  .

При этом число   называется пределом функции   при условии  . Тот факт, что  , записывают ещё в виде

 

 
График  

Пример 1: Пусть   и рассматривается функция  . Покажем, что  

Для этого фиксируем произвольное число  , задающее окрестность  , и выясним, при каких   значения функции   будут попадать в эту окрестность точки 1.

Попадание значений   в окрестность   означает, что выполняется неравенство  , то есть  . При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки  . Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при  . Таким образом, если взять   (это число больше 0), то при   будет выполнено неравенство  , что и означает, что предел равен числу 1:  , или  .

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Предел последовательности при n→∞Править

 
Последовательность и её предел

Пусть дана бесконечная последовательность   чисел, занумерованных по порядку:

 

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию  , определённую при всех натуральных значениях аргумента  .) Дадим определение предела последовательности   при условии, что номер   неограниченно растёт (это условие обозначается  ). Стремление   к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа  , то есть начинает выполняться неравенство  . Если при этом числа   становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу  , то это число — предел последовательности, что записывается так:

 

Формализуем сказанное. Множества чисел  , заданные условиями  , можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство   означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа   можно найти такое число   (зависящее от  ), что при   (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство  .

При этом число   называется пределом последовательности   при условии  . Тот факт, что  , записывают также в виде

 

 
Последовательность  

Пример 2: Покажем, что предел последовательности   равен 0.

Фиксируем произвольное число   и подберём число   в зависимости от   так, чтобы при   выполнялось неравенство  , то есть  . Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при  . Значит, достаточно выбрать в качестве   натуральное число, ближайшее к   справа на вещественной оси4, то есть  , и тогда при любом   неравенство   будет верным. Это означает, что

 

или  .

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Предел функции f(x) при условии x→+∞Править

 
Предел при  

Определим окрестности бесконечности как множества точек  , заданные неравенствами  , то есть лучи  . Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности   точки   можно было найти такую окрестность бесконечности  , что при попадании   в эту окрестность, то есть при  , соответствующее значение   попадает в заданную вначале окрестность точки  , то есть выполняется неравенство  . Выполнение этого требования будет означать, что   — предел функции   при условии  , то есть

 

Тот факт, что  , записывают ещё в виде

 

 
График функции  

Пример 3: Покажем, что предел функции   при   равен числу 3.

Фиксируем   и подберём по этому числу   такое число  , что при любом   выполняется неравенство

 

Сразу будем считать, что   — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде   или  . Так как  , то   и неравенство имеет вид  , откуда  . Если теперь взять число   равным   (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при   будет выполняться неравенство  ; это означает, что

 

или  .

Первый замечательный пределПравить

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел  , который называют Первым замечательным пределом


Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы   и   и докажем, что они равны 1.

Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке  . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

  (1)

(где   — площадь сектора  )

 
 
 

(из  :  )

Подставляя в (1), получим:

 

Так как при  :

 

Умножаем на  :

 

Перейдём к пределу:

 
 
 

Найдём левый односторонний предел:

 

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

  •  
  •  
  •  
  •  

Применение:

Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо.


Пример:

Найти  

Пример:

 

Второй замечательный пределПравить

  или  

Доказательство второго замечательного предела:

Докажем вначале теорему для случая последовательности  

По формуле бинома Ньютона:  

Полагая  , получим:

 
        (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число   убывает, поэтому величины   возрастают. Поэтому последовательность  возрастающая, при этом

       (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

 

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

 .

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

 .

Поэтому        (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом   выполняются неравенства (2) и (3):    .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность   монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.   }}

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что  . Рассмотрим два случая:

1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.

Отсюда следует:  , поэтому
 .
Если  , то  . Поэтому, согласно пределу  , имеем:
 
 .
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку  , тогда

 
 .

Из двух этих случаев вытекает, что   для вещественного x.   

Следствия

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   для  ,  
  6.  

Доказательства следствий

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
 

Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим:  . При неприрывной капитазизации получим:  

Пример

  

  ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x