Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики

Основные определенияПравить

ФункцияПравить

Пусть   и   — два произвольных множества. Функцией   из   в   называется соответствие между элементами множества   и множества  , при котором каждому элементу   сопоставляется какой-либо один элемент  . При этом   называется значением функции   на элементе  , что записывается как   или  . Тот факт, что функция   переводит элементы   в элементы  , записывается так:  . Множество   называется областью определения функции   и обозначается  .

 
Множество   отображается функцией   в множество  

Пример: Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров   и множество   — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие  , сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция  , где   — номер студента в группе (от 1 до 20) и   — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение   определено для всех  . Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества   — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов   не будет значением   ни при каком  . Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах   и   элемент Петров   будет значением функции  , то есть   и  .

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

 

не обязано совпадать со всем множеством  , а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие  , что  , но  . В таком случае часто говорят, что элементы   и   склеиваются при отображении  .

Отображение функцииПравить

Если  , то есть для любого элемента   найдётся элемент   такой, что  , то функция   называется отображением   на   (напомним, что в общем случае   — это отображение из   в  ). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.

Если для любых двух разных элементов   ( ) значения   тоже разные ( ), то отображение   называется вложением множества   в множество  , или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1: Пусть   и отображение   для   задано формулой  . Тогда   — сюръекция, так как любое число   из отрезка   равно значению   при некотором  .

 
Все числа   — это значения функции  

Пример 2: Пусть   и отображение   задано при   формулой  . Тогда отображение   одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение   есть значение   при некотором   (а именно, при  ); 2) никакие два разных значения   не могут дать одинаковых значений  , так как из неравенства   следует неравенство  .

 
Кубы разных чисел не совпадают

Взаимно-однозначное соответствиеПравить

Отображение  , которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между   и  , или биекцией. Это означает, что каждому элементу   сопоставляется ровно один элемент  , причём для каждого элемента   имеется такой элемент  , который сопоставлен этому  .

Замечание: Если отображение   — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества   и множеством значений функции  , то есть частью множества  . Пусть  . Тогда функция   устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами   и  . (Более формально: функция  , совпадающая с   при всех  , — это биекция. В таких ситуациях, когда функции   и   имеют одну и ту же область определения   и их значения совпадают при всех  , мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой  .)

 
Множество   взаимно-однозначно отображается на множество  

Пример 1: При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто   соответствует ровно один выданный номерок  . Таким образом, между множеством   сданных пальто и множеством выданных номерков   (  — это подмножество множества   всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция   ( ,  ).

Обратная функцияПравить

Если   — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому   тот элемент  , который переходит в этот самый   при отображении  , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению   и обозначается  . Таким образом,  , и   тогда и только тогда, когда   ( ,  ).

Пример 1: В условиях примера 1.4 отображение   — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков   находят соответствующее номерку пальто  . Соответствие  ,   ( ,  ) — это обратная функция к функции  ,  , то есть  .

Очевидно, что в случае, если   — биекция и   — обратная к   функция, то   для всех   и   для всех  . Последнее равенство показывает, что   и что функции   и   взаимно обратны. (То есть если   — функция, обратная к  , то   — функция, обратная к  .)

 
Функции   и   взаимно обратны


Итак, для того чтобы функция   имела обратную функцию  , функция   должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между   и  . Тогда обратная функция   устанавливает взаимно-однозначное соответствие между   и  .

Пример 2: Функция  , заданная формулой  , — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень:  .

 
Функции   и   — взаимно обратны

В математическом анализе основную роль играют такие функции  , у которых значениями служат вещественные числа, то есть  . Такие функции   называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 3: Пусть   — множество всевозможных отрезков  , расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки   и  ) не совпадают. Пусть соответствие   сопоставляет каждому такому отрезку   его длину  . Так как длина отрезка — число, то   — числовая функция,  . Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел:  .

Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями  , область определения которых   также является подмножеством числовой прямой  , то есть такими функциями  , где   и  . Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве  , равном прямому произведению   экземпляров множества   (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

График функцииПравить

Графиком функции   называется множество пар   элементов   и  , такое, что в каждой паре   второй элемент   — это значение функции  , соответствующее первому элементу пары, то есть  .

Рассмотрим множество всевозможных пар  , где  ,  . Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества   на множество   и обозначается  .

Ясно, что график   функции   — это подмножество прямого произведения   :

 

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в   ; график примера 1.3 — подмножество в   ; оба графика примера 1.6 — подмножества в   (здесь мы ввели обозначение  , которого будем придерживаться и далее).

Пример 1: Пусть   — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости   с координатами   и  , с центром в точке  . Функцию   в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки   до центра. Таким образом,  , где  .

Графиком   этой функции является подмножество прямого произведения  . Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве  . Обозначим координаты точек в   через  . Тогда графику   принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения   и  .

Множество   представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке  , с высотой 1 и радиусом основания 1.

 
График расстояния до точки   — это конус

Как мы видим, в случае, когда   — подмножество плоскости  , график числовой функции   — это подмножество точек пространства  . Если же   — подмножество точек пространства  , то графиком числовой функции   будет подмножество   четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества  . В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график   описать каким-то иным способом.

Пример 2: Пусть   и для каждой точки   значение функции   в этой точке — это квадрат расстояния от   до точки  , то есть  . Тогда график   — это подмножество в   :

 

Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула   позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью   — это парабола   в плоскости  , а сечение трёхмерным пространством   — это одна точка  .

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида  . Способ задания функции   зависит от того, какова природа множеств   и   и как по заданному   определяется  . Выделим основные из этих способов.

Способы описания функцийПравить

ТабличныйПравить

Если множество   конечно и состоит из   элементов  , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе  . Часто это делают в виде таблицы:

         
         

В верхней строке таблицы перечисляются все   элементов конечного множества  , а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

С помощью формулыПравить

Если множество   бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция   может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента   найти соответствующее ему значение  , например:

  •   при  
  •   при  
  •   при  
  •   при  

Замечание: Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах  , считаются различными. Так, функция   при   и функция   при   — это две разные функции, так как функция   устанавливает соответствие между точками множества   и некоторыми точками числовой прямой, а функция   — между точками другого множества   и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как   при всех  .

Ограничение функцииПравить

Если дана функция  , и  , то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции   только на элементах  . Эта функция   определена равенством   при  . Функция   называется ограничением функции   на подмножество   её области определения   и обозначается  , то есть  .

Пример 1: Пусть   — числовая плоскость и функция   задана формулой

 

Рассмотрим на плоскости   подмножество — прямую линию  , заданную уравнением  . Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции   точки только прямой  . Ограничение   определено только при  , поэтому его, кроме исходной формулы

 

можно задать такими формулами:

  (1.1)

(так как   на прямой  ), или

  (1.2)

(так как   на прямой  ). Во всех точках   прямой   все три формулы дают одно и то же значение функции  . Мы видим, что формула (1.1) даёт для   те же значения, что функция одного переменного   :  , а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного   :  .

Две последние функции называются параметризациями ограничения  .

Пример 2: Пусть   — функция, заданная во всех точках плоскости  . Пусть   — прямая   на плоскости  . Тогда функция   равна  . Формально ограничение зависит от точек   плоскости  , но только таких, что  . Поэтому задание этого ограничения   эквивалентно заданию числовой функции одного переменного  . Функция   — это одна из возможных параметризаций функции  .

Замечание: Во многих учебных примерах при задании функции   при помощи формулы не указывают область определения  . При этом по умолчанию предполагается, что область определения   — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента  , для которых задающее функцию   выражение   имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область  , если в этом возникнет необходимость.

Пример 3: Пусть функция   задана формулой

 

По умолчанию считается, что области   принадлежат все те точки  , что  . Разумеется, для каждой заданной точки   проверить это условие несложно, однако описать множество   в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.

Если   — это множество натуральных чисел  , то функция   называется последовательностью. Так как   содержит бесконечное множество чисел  , то задать   в виде таблицы значений  , где  , вообще говоря, нельзя. Однако если функция   легко угадывается по своим значениям   при небольших  , её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

Пример 4: Пусть  . Тогда, скорее всего, имеется в виду, что   при любом  . Эта формула не противоречит выписанным значениям   и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения  , но, быть может, другие значения  .

Пример 5: Последовательность чисел Фибоначчи   задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( ), а при   вычисляют   по формуле  . Таким образом,   и т. д.

Указание процедуры вычисленияПравить

Во многих случаях функцию   приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

Пример: Пусть   и   — это наибольший корень   уравнения  . Этим условием задаётся некоторая функция  . Её область определения   не пуста, так как, например, при   получается уравнение  , у которого имеется единственный корень  , так что   и, следовательно,  . Однако ни выразить значение   формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения   функции   не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции   возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений  , которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению   определять значение   либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что   не принадлежит  .

Изменяя число   в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения   с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график   по точкам.

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция  , где  , реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки  ,  , и нанося на координатную плоскость   точки вида   и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения   через  .

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции   по заданным  , делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента   часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении  , вызванной тремя причинами:

  1. приближённостью задания переменного   (погрешностью аргумента);
  2. приближённостью способа получения значения   (погрешностью метода);
  3. приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления  . Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график  , согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией  , и по другим косвенным признакам.