Трапеция
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
.
Варианты определения
правитьСуществует и другое определение трапеции.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[1][2]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.
Связанные определения
правитьЭлементы трапеции
править- Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.
Виды трапеций
править- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[3] или равнобочной[4] трапецией).
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
-
Равнобедренная трапеция
-
Прямоугольная трапеция
Свойства
править- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.[5]
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
- Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
- Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
- Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно .
- Высота трапеции определяется формулой:
- где — большее основание, — меньшее основание, и — боковые стороны.
- Диагонали трапеции и связаны со сторонами соотношением:
- Их можно выразить в явном виде:
- Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
- а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
- Если же известна высота , то
- Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
Равнобедренная трапеция
правитьТрапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
- прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
- высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
- углы при любом основании равны;
- сумма противоположных углов равна 180°;
- длины диагоналей равны;
- вокруг этой трапеции можно описать окружность;
- вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того
- если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность
править- Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
- В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
- Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
- Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «[»
- где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — диагонали равнобедренной трапеции.
- Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
- Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и — то .
Площадь
править- Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- В случае, если и — основания и — высота, формула площади:
- В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
- Формула, где — основания, и — боковые стороны трапеции:
- или
- Средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[6]
- Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
- Площадь равнобедренной трапеции:
- где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[7].
- Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
- Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
История
правитьСлово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).
Примечания
править- ↑ Вся элементарная математика(недоступная ссылка — история)
- ↑ Wolfram MathWorld(недоступная ссылка — история)
- ↑ Коллектив авторов Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022
- ↑ М. И. Сканави Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489
- ↑ Геометрия по Киселёву Шаблон:Wayback, § 99.
- ↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184