Теория функций действительного переменного/Тригонометрические ряды: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) м →Теорема Фейера: опечатки в формулах |
Galushin (обсуждение | вклад) →Теорема Фейера в пространстве L1: формулировка и доказательство |
||
Строка 236:
== Теорема Фейера в пространстве L<sub>1</sub> ==
'''Теорема''' Если <math>f</math> — суммируемая на отрезке <math>\left[-\pi; \pi \right]</math> функция, то её суммы Фейера сходятся к ней по норме пространства <math>L_1\left[-\pi; \pi \right]</math>
'''Доказательство'''
Выше было доказано, что имеет место равенство
: <math>f(x) - \sigma_n(x) = \int \limits_{-\pi}^{\pi} [f(x) - f(x + z)] \Phi_n(z) dz</math>,
где <math>\Phi_n</math> — ядра Фейера.
Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что
: <math>\lim_{n \to \infty} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) - \sigma_n(x) \right| dx = 0 </math>
Так как
: <math>\Phi_n \left( x \right) \ge 0</math>,
то
: <math>J_n = \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) - \sigma_n(x) \right| dx \le \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) - f(x + z) \right| \Phi_n(z) dz dx</math>.
Интеграл справа можно представить в виде суммы трёх интегралов:
: <math>J_n = J_n^{-} + J_n^{+} + J_n^{0}</math>,
где
: <math>J_n^{-} = \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{-\pi}^{-\delta} \left| f(x) - f(x + z) \right| \Phi_n(z) dz dx </math>,
: <math>J_n^{0} = \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{-\delta}^{+\delta} \left| f(x) - f(x + z) \right| \Phi_n(z) dz dx </math>,
: <math>J_n^{+} = \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{\delta}^{\pi} \left| f(x) - f(x + z) \right| \Phi_n(z) dz dx </math>.
В силу [[w:Теорема Фубини|теоремы Фубини]] в этих интегралах можно изменить порядок интегрирования.
Поэтому
: <math>J_n^{-} = \int \limits_{-\pi}^{-\delta} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left( \left| f(x) - f(x + z) \right| dx \right) \Phi_n(z) dz </math>.
Рассмотрим внутренний интеграл:
: <math>\int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) - f(x + z) \right| dx \le \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| dx + \int \limits_{-\pi}^{\pi} \left| f(x + z) \right| dx = 2 \cdot \left\| f \right\| </math>,
следовательно
: <math>J_n^{-} \le 2 \cdot \left\| f \right\| \int \limits_{-\pi}^{-\delta} \Phi_n(z) dz = 2 \cdot \left\| f \right\| \cdot \eta_n \left(\delta\right) </math>.
Аналогично можно показать, что имеет место оценка
: <math>J_n^{+} \le 2 \cdot \left\| f \right\| \cdot \eta_n \left(\delta\right) </math>.
Теперь рассмотрим интеграл <math>J_n^{0}</math>. Оценим <math>\left| \Phi_n (z) \right|</math>, так как <math> \left| \sin (n \alpha) \right| < n \left| \sin \alpha \right| </math> при <math>\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]</math>, то
: <math>\left| \Phi_n (z) \right| = \frac{1}{2 \pi n} \left| \frac{\sin \frac{n z}{2}}{\sin \frac{z}{2}} \right|^2 \le \frac{1}{2 \pi n} n^2 = \frac{n}{2 \pi}</math>.
Поэтому для интеграла <math>J_n^{0}</math> можно указать следующую оценку
: <math>J_n^{0} = \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{-\delta}^{+\delta} \left| f(x) - f(x + z) \right| \Phi_n(z) dz dx \le \frac{n}{2 \pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \int \limits_{-\delta}^{+\delta} \left| f(x) - f(x + z) \right| dz dx</math>.
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, для любого <math>\epsilon > 0</math> можно так выбрать <math>\delta</math>, что
: <math>\int \limits_{-\delta}^{+\delta} \left| f(x) - f(x + z) \right| dz < \epsilon </math>,
следовательно
: <math>J_n^{0} \le \frac{n \epsilon }{2 \pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} dx = n \epsilon</math>.
Таким образом
: <math>J_n \le 4 \eta_n \left( \delta \right) + n \epsilon </math>.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Тригонометрические ряды]]
| |||