Основы функционального программирования/Доказательство свойств функций

Лекция 9. «Доказательство свойств функций» Формальная задача: пусть имеется набор функций f = <f1, ..., fn>, определённых на областях D = <D1, ..., Dn>. Требуется доказать, что для любого набора значений d имеет место некоторое свойство, т.е.:

,

где P — рассматриваемое свойство. Например: 1. 2. 3. Вводится принципиальное ограничение на рассматриваемые свойства — свойства только тотальные, т.е. справедливые для всей области D. Далее рассматриваются некоторые виды областей определения D... 1. D — линейно упорядоченное множество. Полуформально линейно упорядоченное множество можно определить как такое множество, для каждых элементов которого можно сказать, какой меньше (или больше), либо они равны, т.е.:

.

В качестве примера можно привести множество целых чисел. Однако линейно упорядоченные множества встречаются в мире функционального программирования очень редко. Взять хотя бы простейшую структуру, которую очень любят обрабатывать в функциональном программировании — список. Для списков уже довольно сложно определить отношение порядка. Для доказательства свойств функций на линейно упорядоченных множествах достаточно провести индукцию по данным. Т.е. достаточно доказать два пункта: 1. — базис индукции; 2. — шаг индукции. В силу того, что структуры данных редко образуют линейно упорядоченные множества, более эффективным способом оказывается применение метода индукции по построению типа D. 2. D — определяется как индуктивный класс Из прошлой лекции известно, что индуктивный класс определяется через ввод базиса класса (это либо набор каких либо констант di = 0,n  D, либо набор первичных типов Ai = 0,n : d  Ai  d  D. Также индуктивный класс определяется при помощи шага индукции — заданы конструкторы g1, ..., gm, определённые над Ai и D, и справедливо, что:

.

В этом случае доказательство свойств функций также резонно проводить в виде индукции по даным. Метод индукции по даным в этом случае также очень прост: 1. P (f (d)) необходимо доказать для базиса класса; 2. Шаг индукции: P (f (d)) = P (f (gi (d))). Например, для доказательства свойств функций для списков (тип List (A)), достаточно доказать рассматриваемое свойство для двух следующих случаев: 1. P (f ([])). 2. . Доказательство свойств функций над S-выражениями (тип S-expr (A)) можно проводить на основе следующей индукции: 1. . 2. . Пример 23. Доказать, что . Для доказательства этого свойства можно использовать только определение типа List (A) и самой функции append (в инфиксной записи используется символ *). 1. L = [] : [] * [] = [] = L. Базис индукции доказан. 2. . Теперь пусть применяется конструктор: a : L. Необходимо доказать, что (a : L) * [] = a : L. Это делается при помощи применения второго клоза определения функции append:

.

Пример 24. Доказать ассоциативность функции append. Т.е. необходимо доказать, что для любых трех списков L1, L2 и L3 имеет место равенство (L1 * L2) * L3 = L1 * (L2 * L3). При доказательстве индукция будет проводиться по первому операнду, т.е. списку L1: 1. L1 = []: ([] * L2) * L3 = (L2) * L3 = L2 * L3. [] * (L2 * L3) = (L2 * L3) = L2 * L3. 2. Пусть для списков L1, L2 и L3 ассоциативность функции append доказана. Необходимо доказать для (a : L1), L2 и L3: ((a : L1) * L2) * L3 = (a : (L1 * L2)) * L3 = a : ((L1 * L2) * L3). (a : L1) * (L2 * L3) = a : (L1 * (L2 * L3)). Как видно, последние два выведенных выражения равны, т.к. для списков L1, L2 и L3 ассоциативность полагается доказанной. Пример 25. Доказательство тождества двух определений функции reverse. Определение 1: reverse [] = [] reverse (H : T) = (reverse T) * [H] Определение 2: reverse' L = rev L []

rev [] L = L rev (H : T) L = rev T (H : L) Видно, что первое определение функции обращения списков — это обычное рекурсивное определение. Второе же определение использует аккумулятор. Требуется доказать, что:

.

1. Базис — L = []: reverse [] = []. reverse’ [] = rev [] [] = []. 2. Шаг — пусть для списка L тождество функций reverse и reverse’ доказано. Необходимо доказать его для списка (H : L). reverse (H : L) = (reverse L) * [H] = (reverse’ L) * [H]. reverse’ (H : L) = rev (H : L) [] = rev L (H : []) = rev L [H]. Теперь необходимо доказать равенство двух последних выведенных выражений для любых списков над типом A. Это также делается по индукции: 2.1. Базис — L = []: (reverse’ []) * [H] = (rev [] []) * [H] = [] * [H] = [H]. rev [] [H] = [H]. 2.2. Шаг — L = (A : T): (reverse’ (A : T)) * [H] = (rev (A : T) []) * [H] = (rev T (A : [])) * [H] = (rev T [A]) * [H]. rev (A : T) [H] = rev L (A : H). Здесь произошло выпадение в дурную бесконечность. Если дальше пытаться проводить доказательство по индукции для новых выведенных выражений, то эти самые выражения будут все усложняться и усложняться. Но это не причина для того, чтобы отчаиваться, ибо доказательство всё равно можно провести. Надо просто придумать некую «индукционную гипотезу», как это было сделано в предыдущем примере. Индукционная гипотеза: (reverse’ L1) * L2 = rev L1 L2. Эта индукционная гипотеза является обобщением выражения (reverse’ L) * [H] = rev L [H]. Базис индукции для этой гипотезы очевиден. Шаг индукции в применении к выражению в пункте 2.2 выглядит следующим образом: (reverse’ (A : T)) * L2 = (rev (A : T) []) * L2 = (rev T [A]) * L2 = ((reverse’ T) * [A]) * L2 = = (reverse’ T) * ([A] * L2) = (reverse’ T) * (A : L2). rev (A : T) L2 = rev T (A : L2) = (reverse’ T) * (A : L2). Что и требовалось доказать. Общий вывод: в общем случае для доказательства свойств функций методом индукции может потребоваться применение некоторых эвристических шагов, а именно введение индукционных гипотез. Эвристический шаг — это формулирование утверждения, которое ниоткуда не следует. Таким образом, доказательство свойств функций есть своего рода творчество.