Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Теоремы о полных пространствах: ошибка в формуле, док-во т. Бэра |
Galushin (обсуждение | вклад) →Пополнение метрического пространства: существование пополнения |
||
Строка 190:
Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.
Напомним, что множество
: <math>A \subset M</math> называется всюду плотным в : <math>\left[ A \right] = M</math>.
Например, <math>\mathbb{Q}</math> является плотным в <math>\mathbb{R}</math> так как <math>[\mathbb{Q}] = \mathbb{R}</math>.▼
▲Например, множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> является плотным в множестве всех действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, так как
: <math>[\mathbb{Q}] = \mathbb{R}</math>.
Пусть ('''M''', ρ) — полное метрическое пространство и <math>X \subset M</math>.
('''M''', ρ) называется '''пополнением''' метрического пространства ('''X''', ρ), если
: <math>\left[ X \right] = M</math>. Например, <math>(\mathbb{R}, \rho)</math> — пополнение метрического пространства <math>(\mathbb{Q}, \rho)</math>.
Справедлива следующая теорема:
'''Теорема 4.''' Любое метрическое пространство <math>R</math> имеет пополнение,
<!-- , оставляющей неподвижной точки множества <math>R</math> -->
'''Существование.'''
Назовём две фундаментальные последовательности <math>\{ x_n \}</math> и <math>\{ y_n \}</math> элементов пространства <math>R</math> эквивалентными, если
: <math>\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n) = 0</math>.
Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:
: <math>~\{ x_n \} \sim \{ y_n \}</math>.
Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Таким образом, все фундаментальные последовательности точек метрического пространства <math>R</math> распадаются на классы эквивалентных друг другу последовательностей.
Рассмотрим пространство <math>R'</math>, элементами которого являются классы эквивалентных последовательностей.
Метрика в нём может быть определена следующим образом.
Пусть <math>\eta_1</math> и <math>\eta_2</math> — два класса эквивалентности.
Выберем в каждом из них по одной фундаментальной последовательности
: <math>\{ x_n \} \in \eta_1,~\{ y_n \} \in \eta_2</math>
и положим
: <math>\rho'(\eta_1, \eta_2) = \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n)</math>.
Для того, чтобы функцию <math>\rho'</math> можно было считать метрикой в пространстве <math>R'</math>, нужно доказать, что данный предел существует и не зависит от выбора последовательностей, кроме того, должны выполняться аксиомы метрики.
В силу неравенства четырёхугольника:
: <math>| \rho(x_n, y_n) - \rho(x_m, y_m)| \le \rho(x_n, x_m) + \rho(y_n, y_m)</math>.
Так как последовательности <math>\{ x_n \}</math> и <math>\{ y_n \}</math> являются фундаментальными, то можно указать такое натуральное число <math>n_0</math>, что при <math>n, m > n_0</math> выполняется неравенство
: <math>| \rho(x_n, y_n) - \rho(x_m, y_m)| \le \epsilon</math>.
Таким образом, последовательность вещественных чисел <math>\rho(x_n, y_n)</math> имеет предел в силу критерия Коши.
Докажем, что данный предел не зависит от выбора последовательностей.
Пусть
: <math>\{ x_n \}, \{ x'_n \} \in \eta_1</math>
: <math>\{ y_n \}, \{ y'_n \} \in \eta_2</math>.
По неравенству четырёхугольника
: <math>| \rho(x_n, y_n) - \rho(x'_n, y'_n)| \le \rho(x_n, x'_n) + \rho(y_n, y'_n)</math>.
А так как
: <math>~\{ x_n \} \sim \{ x'_n \},~\{ y_n \} \sim \{ y'_n \}</math>,
то по введённому определению эквивалентности
: <math>\lim_{n \to \infty} | \rho(x_n, y_n) - \rho(x'_n, y'_n)| \le \lim_{n \to \infty}\rho(x_n, x'_n) + \lim_{n \to \infty}\rho(y_n, y'_n) = 0</math>,
то есть
: <math>\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n) = \lim_{n \to \infty} \rho(x'_n, y'_n)</math>.
Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.
Проверим теперь, выполняются ли аксиомы метрики для функции <math>\rho'</math>.
Аксиомы тождества и симметрии следуют непосредственно из введённого определения эквивалентности.
Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности
: <math>\eta_1,~\eta_2,~\eta_3 \in R'</math>.
Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности
: <math>\{ x_n \} \in \eta_1, \{ y_n \} \in \eta_2, \{ z_n \} \in \eta_3</math>.
Так как исходное пространство <math>R</math> является метрическим, то
: <math>\rho(x_n, y_n) \le \rho(x_n, z_n) + \rho(z_n, y_n)</math>.
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим
: <math>\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n) \le \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, z_n) + \lim_{n \to \infty} \rho(z_n, y_n)</math>,
то есть, по определению функции <math>\rho'</math>:
: <math>\rho'(\eta_1, \eta_2) \le \rho'(\eta_1, \eta_3) + \rho'(\eta_3, \eta_2)</math>.
Теперь докажем, что <math>R</math> можно рассматривать как подпространство пространства <math>R'</math>.
Каждой точке <math>x \in R</math> можно поставить в соответствие класс эквивалентности
: <math>\eta(x) \in R'</math>, представляющий собой множество последовательностей, сходящихся к точке <math>x</math>.
Данный класс содержит по меньшей мере один элемент — стационарную последовательность, все элементы которой равны <math>x</math>.
Если
: <math>x = \lim_{n \to \infty} x_n,~ y = \lim_{n \to \infty} y_n</math>,
то по определению <math>\rho'</math> и в силу непрерывности метрики
: <math>\rho'(\eta(x), \eta(y)) = \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n) = \rho(x, y)</math>,
таким образом, существует изометрическое отображение элементов пространства <math>R</math> в <math>R'</math>.
Так как с точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства не различаются, то можно не различать пространство <math>R</math> и его образ в <math>R'</math>.
Докажем, что <math>R</math> всюду плотно в <math>R'</math>.
Пусть дана произвольная точка <math>\eta \in R'</math> и вещественное число <math>\epsilon > 0</math>.
Выберем произвольную фундаментальную последовательность
: <math>\{ x_n \} \in \eta</math>.
Можно указать такой номер <math>n_0</math>, что при <math>n, n > n_0</math> будет выполняться неравенство
: <math>\rho(x_n, x_m) < \epsilon</math>.
Тогда при <math>n > n_0</math> будем иметь
: <math>\rho'(\eta(x_n), \eta) = \lim_{m \to \infty} \rho(x_n, x_m) \le \epsilon</math>.
Таким образом в любой окрестности произвольной точки <math>\eta \in R'</math> содержится точка из <math>R</math>, то есть
: <math>\left[ R \right] = R'</math>.
Докажем наконец, что пространство <math>R'</math> является полным.
По построению, любая последовательность точек <math>\{ x_n \}</math> сходится к некоторой точке пространства <math>R'</math>.
Пусть дана последовательность <math>\{ \eta_n \}</math> точек пространства <math>R'</math>.
Из точек пространства <math>R</math> можно построить последовательность эквивалентных, для этого достаточно в качестве <math>x_n</math> взять такую точку, чтобы выполнялось неравенство
: <math>\rho'(\eta(x_n), \eta_n) < \frac{1}{n}</math>.
Построенная таким образом последовательность будет фундаментальной в <math>R</math>, а значит будет сходится к некоторому классу <math>\eta \in R'</math>, а так как последовательности <math>\{ \eta(x_n) \}</math> и <math>\{ eta_n \}</math> эквивалентны, то они сходятся к одному пределу.
'''Единственность.'''
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Полные метрические пространства]]
| |||