Теория функций действительного переменного/Применение принципа сжимающихся отображений: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Задача Коши для одного уравнения: пропуск в формуле |
Galushin (обсуждение | вклад) |
||
Строка 79:
=== Уравнения Фредгольма ===
Уравнение Фредгольма второго рода — это интегральное уравнение вида
: <math>x(t) = \lambda \int \limits_a^b K(t, s) f(s) ds + f(t)</math>.
Функции <math>K(t, s)</math> (ядро) и <math>f(t)</math> (правая часть) заданы, <math>\lambda</math> — произвольный параметр, необходимо найти функцию <math>x</math>.
Будем считать, что функции <math>K(t, s)</math> (ядро) и <math>f(t)</math> является непрерывными при
: <math>a \le t \le b,~ a \le s \le b </math>.
Кроме того, существует такое число <math>M</math>, что
: <math>| K(t,s) | \le M</math>.
Рассмотрим отображение <math>y = A x</math> полного пространства непрерывных на отрезке <math>[a; b]</math> функций <math>C[a; b]</math> в себя, заданное формулой
: <math>y(t) = \lambda \int \limits_a^b K(t, s) x(s) ds + f(t)</math>.
Определим, при каких условиях данное отображение является сжимающим в равномерной метрике
: <math>\rho(x_1, x_2) = \max_{t \in [a; b]} |x_1(t) - x_2(t)|</math>.
Рассмотрим две функции <math>x_1</math> и <math>x_2</math> и оценим
: <math>\rho(y_1, y_2) = \rho(Ax_1, A x_2) = \max_{t \in [a; b]} \left| \lambda \int \limits_a^b K(t, s) [x_1(s) - x_2(s)]ds \right| </math>.
По свойствам интеграла:
: <math>\rho(y_1, y_2) \le |\lambda|(b - a) \max_{t \in [a; b]} \max_{s \in [a; b]} \left| K(t, s) [x_1(s) - x_2(s)]\right| </math>.
Так как ядро ограничено числом <math>M</math>, то:
: <math>\rho(y_1, y_2) \le |\lambda|(b - a) M \max_{s \in [a; b]}| x_1(s) - x_2(s)| = |\lambda|(b - a) M \rho(x_1, x_2) </math>.
Таким образом, отображение <math>A</math> является сжимающим при условии
: <math>|\lambda| \le \frac{1}{(b - a) M}</math>,
а значит, что при выполнении данного условия последовательность
: <math>x_{n+1}(t) = \lambda \int \limits_a^b K(t, s) x_n(s) ds + f(t) </math>
будет сходится к решению уравнения.
В качестве начального приближения можно взять произвольную непрерывную функцию <math>x_0(t)</math>.
=== Нелинейные интегральные уравнения ===
Рассмотрим уравнение вида
: <math>x(t) = \lambda \int \limits_{a}^{b} K(t, s, x(s)) ds + f(t)</math>,
где функции <math>K</math> и <math>f</math> непрерывны, а ядро ещё и удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть выполняется неравенство
: <math>|K(t, s, y_1) - K(t, s, y_2)| \le M | y_1 - y_2|</math>.
Рассмотрим отображение <math>A</math>, заданное формулой
: <math>A x = \lambda \int \limits_{a}^{b} K(t, s, x(s)) ds + f(t)</math>
Если <math>x_1</math> и <math>x_2</math> — две непрерывные функции и
: <math>y_1 = A x_1,~y_2 = A x_2</math>,
то справедлива оценка
: <math>| y_1(t) - y_2(t)| \le |\lambda|(b - a) \max_{s \in [a; b]} \left| K(t, s, x_1(s)) - K(t, s, x_2(s) \right| \le |\lambda|(b - a) M \max_{s \in [a; b]} | x_1(s) - y_2(s)|</math>,
таким образом
: <math>\rho(A x_1, A x_2) \le |\lambda|(b - a) M \rho(A x_1, A x_2)</math>,
а значит метод последовательных приближений применим при
: <math>|\lambda| < \frac{1}{(b - a) M}</math>.
=== Уравнения Вольтерра ===
Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра
: <math>x(t) = \lambda \int \limits_t^b K(t, s) f(s) ds + f(t)</math>.
Оказывается, что в данном случае, в отличие от случая уравнения Фредгольма, метод последовательных приближений можно использовать при любых значениях параметра <math>\lambda</math>.
Как и при рассмотрении линейного уравнению Фредгольма, будем считать, что функции <math>K(t, s)</math> (ядро) и <math>f(t)</math> является непрерывными при
: <math>a \le t \le b,~ a \le s \le b </math>,
а <math>K(t, s)</math> ещё и ограниченной, то есть существует такое число <math>M</math>, что
: <math>| K(t,s) | \le M</math>.
Рассмотрим отображение <math>A</math>, определённое следующим образом:
: <math>y = A x = \lambda \int \limits_t^b K(t, s) f(s) ds + f(t)</math>.
Введём обозначение
: <math>~g_0 = A(x_1 - x_2) = A x_1 - A x_2</math>
и рассмотрим последовательность
: <math>~g_{n+1} = A g_n</math>.
Рассуждая так же как в случае уравнения Фредгольма, получим оценку:
: <math>| g_1(t) | \le |\lambda| M (t - a) \max_{s \in [a; b]} | x_1(s) - x_2(s)| </math>.
Из этой оценки следует
: <math>| g_2(t) | \le |\lambda|^2 M^2 \frac{(t - a)^2}{2} \max_{s \in [a; b]} | x_1(s) - x_2(s)| </math>,
и вообще
: <math>| g_n(t) | \le |\lambda|^n M^n \frac{(t - a)^n}{n!} \max_{s \in [a; b]} | x_1(s) - x_2(s)| </math>.
Для любого значения параметра <math>\lambda</math> можно указать, такое целое число <math>n_0</math>, что будет выполняться условие
: <math>|\lambda|^{n_0} M^n \frac{(b - a)^{n_0}}{n_0!}</math>
и, так как <math>a \le t \le b</math>, отображение <math>B = A^{n_0}</math> будет сжимающим.
Возьмём некоторую непрерывную функцию <math>x_0(t)</math> и построим последовательность
: <math>~\{ A^n x_0 \}</math>.
Рассмотрим подпоследовательность этой последовательности
: <math>~\{ A^{k n_0} x_0 \}</math>,
так как <math> A^{k n_0} x_0 = B^k x_0</math>,
то данная последовательность будет, в силу принципа сжимающих отображений, сходится к решению уравнения,
а следовательно к решению уравнению будет сходится и вся последовательность
: <math>~\{ A^n x_0 \}</math>.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Применение принципа сжимающихся отображений]]
| |||