Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
→Свойства векторных пространств: поправка неверной ссылки |
||
Строка 49:
== Свойства векторных пространств==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах , которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения:
'''1''' <math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>Согласно акс.4<math>\vec x+\vec 0=\vec x</math>. С другой стороны <math>\vec x+0\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+0\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+0)\vec x=\vec x</math>. Т.е. <math>\vec x+\vec 0=\vec x+0\vec x</math>. Согласно [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Предварительные понятия|свойству 2 в группах]] последнее равенство равносильно <math>\vec 0=0\vec x</math>, ч.т.д.
'''2''' <math>(\forall \alpha \in P)\quad \alpha\cdot\vec 0=\vec 0</math>
'''3''' <math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha\vec x=\vec 0 \Rightarrow \alpha=0 \vee \vec x=\vec 0</math>
| |||