Викиучебник

Иррациональные уравнения: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
викификация
Строка 1:
<small>Исходный текст статьи опубликован в журнале [[Журнал «Потенциал»|Потенциал]] № 1, 2005. Автор статьи  — Колесникова Софья Ильинична.</small>
 
==Введение==▼
 
▲== Введение ==
Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ № 1 для 10 класса.
В нём рассматривается два типа иррациональных уравнений: <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> и <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}</math>.
Строка 25 ⟶ 24 :
Материал рекомендуется учащимся, начиная с 9 класса.
 
== Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math> ==
 
При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ:
<math> f\left( x \right) \ge 0, </math>
Строка 36 ⟶ 34 :
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right), </math>
но на разных промежутках числовой оси:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> &mdash; — там, где
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right) </math> &mdash; — там, где
<math> g\left( x \right) \le 0. </math>
«Лишние» корни &mdash; — это корни второго уравнения, геометрически это &mdash; — пересечение графика функции
<math> y = g\left( x \right) </math>
с графиком функции
Строка 60 ⟶ 58 :
<math> g\left( x \right) < 0. </math>
 
Вспомним, что, если <math>f(x) \ge 0, g(x)\ge 0</math>, то <math>f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).</math>
 
Так как уравнение
Строка 66 ⟶ 64 :
может иметь решение лишь при условии
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math>
(т.то е.есть обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{matrix} \right. (1) </math>
Строка 74 ⟶ 72 :
Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
неотрицательности подкоренного выражения, т. к.так как это условие выполняется автоматически.
 
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math> неотрицательности правой части &mdash; — это условие «отсекает» посторонние корни  — корни уравнения
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>
 
Строка 88 ⟶ 86 :
'''Замечание.''' При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
 
=== Пример 1. ===
<math> \sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1. </math>
 
Строка 118 ⟶ 116 :
Любопытно, что
<math> x = - 2 </math>
принадлежит ОДЗ, но не является решением, т.так к.как для него не выполнено условие
<math> x + 1 \ge 0. </math>
 
'''Ответ:''' 0,5; 1.
 
=== Пример 2. ===
<math> 4\sqrt {5x - x^2 - 6} = x - 1. </math>
 
Строка 138 ⟶ 136 :
В этом примере не оказалось лишних корней.
 
=== Пример 3. ===
<math> \sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2.</math>
 
Строка 152 ⟶ 150 :
'''Ответ:''' 1,3.
 
=== Пример 4.(МГУ, 1974, экон. ф-т) ===
Найти все действительные решения уравнения
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1}. </math>
Строка 172 ⟶ 170 :
'''Ответ:''' <math> - \sqrt {2 + \sqrt 5 } .</math>
 
=== Пример 5.(МГУ, 1999) ===
Решите уравнение
<math>\sqrt {\left| {x^2 + 14x + 47} \right| - 1} = \left| {x + 7} \right| - 1. </math>
Строка 193 ⟶ 191 :
<math> \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \left| {x + 7} \right.| = 2 \\ \left| {x + 7} \right.| = 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x = - 5 \\ x = - 9 \\ \end{matrix} \right. \\ \left[ \begin{matrix} x = - 6 \\ x = - 8 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:''' -5−5, -6−6, -8−8, -9−9.
 
=== Пример 6. ===
Решите уравнение
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x. </math>
Строка 213 ⟶ 211 :
<math> \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + 2\pi k,k \in {\rm Z}. </math>
 
== Уравнения вида <math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math> ==
 
Рассмотрим подробнее самое простое из уравнений вида
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
&mdash;— уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \quad (1). </math>
 
Строка 226 ⟶ 223 :
Приведем три из них.
 
1. Можно воспользоваться приведенным выше условием равносильности:
 
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} cx + d \ge 0 \\ ax + b = \left( {cx + d} \right)^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
2. Можно сразу решить уравнение
<math> ax + b = \left( {cx + d} \right)^2 </math>
(ОДЗ уравнения выполняется автоматически), а затем сделать проверку: подставить найденные решения в заданное уравнение
Строка 239 ⟶ 236 :
 
Рассмотрим решения уравнения на графике.
Начертим эскизы левой и правой частей  — например, рис. 1.
 
[[ИзображениеФайл:irrat1.jpg]]
 
'''Рис. 1'''
Строка 258 ⟶ 255 :
<math>y = - \sqrt {ax + b} ,a > 0,b > 0. </math>
 
[[ИзображениеФайл:irrat2.jpg]]
 
'''Рис. 2'''
 
Но «лишние» корни могут и не появиться (рис. 2)  — все зависит от коэффициентов в уравнении, а, значит, от взаимного расположения прямой и полупараболы.
 
3. Уравнение вида
Строка 277 ⟶ 274 :
<math> ct^2 - at - bc + ad = 0, </math> что под силу любому школьнику.
 
=== Пример 7. (МФТИ, 2000) ===
Найти все значения параметра
a,
Строка 312 ⟶ 309 :
<math> \left\{ { - \frac{1}{{10}}} \right\} \cup \left[ {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
 
== Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math> ==
 
Пусть задано уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} . </math>
Строка 332 ⟶ 328 :
для всех x из ОДЗ.
 
Теперь видно, что для всех решений <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имеют одинаковые знаки, поэтому при таком способе решения нет необходимости проверять неотрицательность обеих функций  — '''достаточно проверить неотрицательность одной из них:''' выбирают ту, для которой неравенство проще проверить.
 
Можно записать полное условие равносильности, которое включает в себя ОДЗ уравнения:
Строка 345 ⟶ 341 :
Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).
 
=== Пример 8. ===
Решите уравнение
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7}. </math>
Строка 360 ⟶ 356 :
<math> \pm \sqrt 2 , \pm \sqrt 3 .</math>
 
=== Пример 9. (МФТИ,1984) ===
Решите уравнение <math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} . </math>
 
Строка 380 ⟶ 376 :
<math> - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n,n \in {\rm Z}. </math>
 
== Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А. ==
 
Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.
 
=== Пример 10. ===
Какое утверждение
1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или оба корня отрицательны);
2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен;
3) уравнение имеет два корня разных знаков;
4) уравнение имеет только один корень, и он положителен
верно по отношению к корням уравнения
# а)<math> \sqrt {x + 4} = 3\left( {x + 1} \right) </math>;
# б)<math> \sqrt {7 - x} = x + 1</math>;
# в)<math> 3\sqrt {10 - x} = 12 - x</math>;
# г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x</math> ?
 
Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей.
Строка 402 ⟶ 397 :
а) <math>\sqrt {x + 4} = 3\left( {x + 1} \right). </math>
 
[[ИзображениеФайл:irrat3.jpg]]
 
'''Рис. 3'''
 
На чертеже надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение происходит на отрицательной полуоси  — это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее полупараболы, а ось Oy выше полупараболы.
 
'''Ответ:''' 2).
Строка 412 ⟶ 407 :
б) <math> \sqrt {7 - x} = x + 1. </math>
 
[[ИзображениеФайл:irrat4.jpg]]
 
'''Рис. 4'''
Строка 423 ⟶ 418 :
в)<math> 3\sqrt {10 - x} = 12 - x. </math>
 
[[ИзображениеФайл:irrat5.jpg]]
 
'''Рис. 5'''
 
Это более трудный пример, т.так к.как не ясно, прямая пересекается с полупараболой (а тогда дважды), касается или вовсе не имеет общих точек с полупараболой. Надо что-то сделать дополнительно, например , подставить такие значения х, при которых корни извлекаются нацело, или поискать точку (x = 5), в которой ясно, что расположено выше &mdash; — прямая или полупарабола.
 
'''Ответ:''' 1).
Строка 433 ⟶ 428 :
г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x? </math>
 
[[ИзображениеФайл:irrat6.jpg]]
 
'''Рис. 6'''
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Иррациональные_уравнения