Размер и размерность

Исходный вариант статьи (М. Г. Иванов, «Размер и размерность») опубликован в августовском номере 2006 года журнала «Потенциал».

Под микроскопом он открыл, что на блохе
Живёт, блоху кусающая блошка;
На блошке той блошинка-крошка,
В блошинку же вонзает зуб сердито
Блошиночка, и так ad infinitum.

Джонатан Свифт

Чем отличаются друг от друга длина, площадь и объём? Править

Все мы знаем, что складывать между собой величины, измеренные в разных единицах нельзя. Не все, впрочем, понимают почему. Вроде бы и длина, и площадь, и объём измеряются в метрах, вот только в одном случае метр линейный, в другом квадратный, а в третьем кубический. А какая нам собственно разница?

Разница проявляется, если мы захотим перейти от метров к сантиметрам.

1 м = 100 см = 1001 см1,

1 кв. м. = 1 м2 = 1 м × 1 м = 100 см × 100 см = 10 000 см × см = 1002 см2,

1 куб. м. = 1 м3 = 1 м × 1 м × 1 м = 100 см × 100 см × 100 см = 1 000 000 см × см × см = 1003 см3.

Если мы сложим квадратные метры с линейными, то будет не ясно, в чём будет измеряться результат, а значит, будет не ясно на какое число умножать ответ при переходе от метров к сантиметрам. Значит, складывать длину и площадь нельзя.

Не обязательно изменять единицу длины именно в сто раз.

 

При изменении единицы длины в 3 раза единица площади изменится в   раз, а единица объёма в   раз. Таким образом, мы можем «разобрать» большой отрезок на   отрезков в 3 раза меньшей длины, большой квадрат на   квадратов в 3 раза меньших по линейным размерам, большой куб на   кубиков в 3 раза меньших по линейным размерам. Во всех перечисленных случаях мы «разбираем» фигуру на набор равных между собой по размеру меньших фигурок, подобных большой фигуре. Степень, в которую возводится изменение линейного масштаба, называется размерностью. Таким образом, отрезок — одномерен, квадрат — двумерен, куб — трёхмерен.

Уже не длина, но ещё не площадь Править

Существуют ли фигуры, размерность которых не является целой, то есть может ли оказаться, что большая фигура разбирается на   одинаковых фигурок поменьше, каждая их которых подобна исходной и отличается от неё по линейным размерам в   раз, причём  , где число   не является целым? Оказывается, что такие фигуры существуют и называются самоподобными фракталами.

Например, следующую фигуру мы можем «разобрать» на 8 подобных, каждая из которых меньше по линейным размерам в 3 раза. Эта фигура называется «салфетка Серпинского».

 

Таким образом,  , или (вспомнив определение логарифма)  

Как строится такая салфетка Серпинского? Квадрат разбивается на 9 маленьких квадратиков, после чего выкидывается средний квадратик, потом аналогичная процедура проделывается для каждого из 8 оставшихся квадратиков (в 3 раза меньших размеров), потом для каждого из 64 квадратиков (в 9 раз меньших размеров) и так далее (бесконечное число раз).

 

На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на  , то есть, если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер   равна  . А площадь получающегося в результате фрактала равна  . Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1 смd Если принять, что мера Минковского для квадрата   равна  , то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер   мы имеем   квадратиков со стороной   и мера  ).

По некоторому размышлению полезно обобщить приведённое выше определение самоподобного фрактала и позволить ему иметь целые размерности, например процедура, изображённая на следующей серии рисунков, приводит к построению фигуры с размерностью 1 (Почему?), но естественно считать эту фигуру фракталом (данный пример принадлежит Магди Мохамеду). (Попутно во фракталы попадают и обычные отрезки, квадраты, треугольники.)

 

В заключение приведём (в качестве иллюстрации и упражнения по вычислению размерности самоподобных фракталов) ещё три фигуры.

Треугольник Серпинского.

 

Ещё один вариант салфетки Серпинского.

 

Кривая Коха.

 

Строится кривая Коха так:

 

См. также Править