Основы теоретической физики/1.2.1. Интегралы движения

1.2.1. Интегралы движения

Как говорилось ранее, при движении механической системы, от времени могут зависеть координаты и скорости материальных точек. Таким образом, если в системе имеется S степеней свободы, то от времени могут зависеть 2S величины: $q_{1}...q_{s},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{s}}}$. Также можно догадаться, что могут существовать и такие функции физических величин $q_{1}...q_{s},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{s}}}$, которые не изменяются при движении и зависят только от начальных условий. Такие неизменные величины называются «интегралами движения».

Можно доказать следующую теорему: в замкнутой системе с S степенями свободы, существует 2S-1 независимых интегралов движения. Доказательство: как было ранее показано, для системы с S степенями свободы, существует S уравнений движения (1.23). Это дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых в общем случае даст решения, содержащие 2S произвольных постоянных:

${\begin{cases}q_{1}=q_{1}(C_{1},...C_{2S})\\q_{2}=q_{2}(C_{1},...C_{2S})\\...\\q_{S}=q_{S}(C_{1},...C_{2S})\end{cases}}$   (1.55)

Поскольку уравнения движения не содержат времени в явном виде, а траектории (1.55) должны зависеть от времени, то одной из «постоянных» интегрирования, очевидно, является время. Значит решения уравнений движения действительно могут содержать 2S-1 независимых интегралов движения.
Явный вид для интегралов движения можно получить из системы уравнений (1.55). Заметим, что система имеет единственное решение если число уравнений равняется числу неизвестных, поэтому в окончательную формулу кроме координат должны входить и скорости:

${\begin{cases}C_{1}=C_{1}(q_{1},...q_{S},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{S}}})\\C_{2}=C_{2}(q_{1},...q_{S},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{S}}})\\...\\C_{2S-1}=C_{2S-1}(q_{1},...q_{S},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{S}}})\\t=t(q_{1},...q_{S},{\dot {q_{1}}}...{\dot {q_{S}}})\end{cases}}$   (1.56)

Еще раз отметим: если мы каким-либо образом (не обязательно с помощью решения уравнений движения), найдем постоянную величину, которая характеризует систему и не меняется со временем – эта величина будет интегралом движения.

Среди всего множества интегралов движения есть несколько таких, которые играют особую роль в механике. Это интегралы, обладающие свойством аддитивности.

По определению, если механическая система состоит из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, то «аддитивными интегралами движения» называются интегралы, значение которых равно сумме значений для каждой из частей системы в отдельности. Значения аддитивных интегралов движения в системе называют «законами сохранения».

См. также

Оглавление