Основы теоретической физики/Момент импульса
2.3.7. Момент импульса
правитьМомент импульса в Лагранжевой механике сохраняется благодаря тому, что функция Лагранжа не изменяется при любых трехмерных поворотах системы координат, то есть из-за изотропии пространства. Для релятивистского момента импульса можно вывести аналогичный закон.
Пусть Xi – это 4-вектор координат частицы. Если сделать бесконечно малый поворот системы координат в четырехмерном пространстве, то координаты частицы поменяются на X'i. Изменение координат при повороте можно представить как сумму изменений координат при поворотах вокруг каждой оси:
Длина 4-вектора не изменяется при поворотах, так как это интервал:
Подставим (2.3.58) в (2.3.59) :
Раскрывая в (2.3.60) скобки и опуская члены второго порядка малости, получим:
Полученное выражение (2.3.61) , представляет собой произведение двух тензоров второго ранга. Такое произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если один тензор симметричный, а второй – антисимметричный. Значит, поскольку тензор XiXk - симметричный, тензор - должен быть антисимметричным. То есть:
Рассмотрим теперь вариацию действия в формуле (2.3.62) при повороте системы координат:
При бесконечно малом повороте, вариация координаты в (2.3.63) это разность координат в разных системах отсчета, из (2.3.58) получим:
Подставим (2.3.64) в (2.3.63) :
Рассмотрим теперь два вспомогательных тензора: антисимметричный и симметричный тензоры Aik и Bik, сумма которых даст тензор PiXk:
Сделаем замену (2.3.66) в формуле (2.3.65) :
Во втором слагаемом в (2.3.67) , стоит произведение симметричного и антисимметричного тензора, значит это слагаемое равно нулю.
Таким образом, учитывая, что вариация действия должна равняться нулю, из (2.3.67) получаем:
Формула (2.3.68) определяет антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого сохраняется при повороте системы координат в четырехмерном пространстве. Этот тензор и называют 4-тензором момента импульса частицы:
Легко заметить, что ненулевые, чисто пространственные компоненты тензора (2.3.69) , совпадают с «классическим» трехмерным моментом импульса:
Три смешанные компоненты тензора (2.3.69) , представляют собой вектор:
Можно объединить (2.3.70) и (2.3.71) , тогда тензор момента импульса можно записать в виде матрицы из двух векторов:
Формула (2.3.72) определяет четырехмерный момент импульса одной частицы. Так как момент импульса — это аддитивный интеграл движения, то для множества частиц формула (2.3.72) примет вид:
В левой части (2.3.73) компоненты 4-момента сохраняются, а в правой части трехмерный момент импульса сохраняется, значит сохраняется и вектор (2.3.71) :
Можно преобразовать (2.3.74) :
В формуле (2.3.75) вектор — это релятивистское определение радиус-вектора центра инерции системы. Скорость — это скорость системы частиц как целого.
Можно заметить, что если скорости всех частиц много меньше скорости света, то энергия покоя будет много больше кинетической энергии и для центра инерции получится «классическое» выражение:
См. также
правитьПримечания
править