Основы теоретической физики/Момент импульса

2.3.7. Момент импульса

править

Момент импульса в Лагранжевой механике сохраняется благодаря тому, что функция Лагранжа не изменяется при любых трехмерных поворотах системы координат, то есть из-за изотропии пространства. Для релятивистского момента импульса можно вывести аналогичный закон.

Пусть Xi – это 4-вектор координат частицы. Если сделать бесконечно малый поворот системы координат в четырехмерном пространстве, то координаты частицы поменяются на X'i. Изменение координат при повороте можно представить как сумму изменений координат при поворотах вокруг каждой оси:

  формулы (2.3.58)


Длина 4-вектора не изменяется при поворотах, так как это интервал:

  формулы (2.3.59)


Подставим  (2.3.58) 

в  (2.3.59) 
  формулы (2.3.60)


Раскрывая в  (2.3.60) 

скобки и опуская члены второго порядка малости, получим:
  формулы (2.3.61)


Полученное выражение  (2.3.61)  , представляет собой произведение двух тензоров второго ранга. Такое произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если один тензор симметричный, а второй – антисимметричный. Значит, поскольку тензор XiXk - симметричный, тензор   - должен быть антисимметричным. То есть:

  формулы (2.3.62)


Рассмотрим теперь вариацию действия в формуле  (2.3.62) 

при повороте системы координат:
  формулы (2.3.63)


При бесконечно малом повороте, вариация координаты в  (2.3.63) 

это разность координат в разных системах отсчета, из  (2.3.58) 
получим:
  формулы (2.3.64)


Подставим  (2.3.64) 

в  (2.3.63) 
  формулы (2.3.65)


Рассмотрим теперь два вспомогательных тензора: антисимметричный и симметричный тензоры Aik и Bik, сумма которых даст тензор PiXk:

  формулы (2.3.66)


Сделаем замену  (2.3.66) 

в формуле  (2.3.65) 
  формулы (2.3.67)


Во втором слагаемом в  (2.3.67)  , стоит произведение симметричного и антисимметричного тензора, значит это слагаемое равно нулю.

Таким образом, учитывая, что вариация действия должна равняться нулю, из  (2.3.67) 

получаем:
  формулы (2.3.68)


Формула  (2.3.68) 

определяет антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого сохраняется при повороте системы координат в четырехмерном пространстве. Этот тензор и называют 4-тензором момента импульса частицы:
  формулы (2.3.69)


Легко заметить, что ненулевые, чисто пространственные компоненты тензора  (2.3.69)  , совпадают с «классическим» трехмерным моментом импульса:

  формулы (2.3.70)


Три смешанные компоненты тензора  (2.3.69)  , представляют собой вектор:

  формулы (2.3.71)


Можно объединить  (2.3.70) 

и  (2.3.71) 

, тогда тензор момента импульса можно записать в виде матрицы из двух векторов:

  формулы (2.3.72)


Формула  (2.3.72) 

определяет четырехмерный момент импульса одной частицы. Так как момент импульса — это аддитивный интеграл движения, то для множества частиц формула  (2.3.72) 
примет вид:
  формулы (2.3.73)


В левой части  (2.3.73) 

компоненты 4-момента сохраняются, а в правой части трехмерный момент импульса сохраняется, значит сохраняется и вектор  (2.3.71) 
  формулы (2.3.74)


Можно преобразовать  (2.3.74) 

  формулы (2.3.75)


В формуле  (2.3.75) 

вектор   — это релятивистское определение радиус-вектора центра инерции системы. Скорость   — это скорость системы частиц как целого.

Можно заметить, что если скорости всех частиц много меньше скорости света, то энергия покоя будет много больше кинетической энергии и для центра инерции получится «классическое» выражение:

  формулы (2.3.76)


См. также

править

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

править