Основы теоретической физики/Момент импульса

2.3.7. Момент импульса

Момент импульса в Лагранжевой механике сохраняется благодаря тому, что функция Лагранжа не изменяется при любых трехмерных поворотах системы координат, то есть из-за изотропии пространства. Для релятивистского момента импульса можно вывести аналогичный закон.

Пусть Xⁱ – это 4-вектор координат частицы. Если сделать бесконечно малый поворот системы координат в четырехмерном пространстве, то координаты частицы поменяются на X'ⁱ. Изменение координат при повороте можно представить как сумму изменений координат при поворотах вокруг каждой оси:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.58)

Длина 4-вектора не изменяется при поворотах, так как это интервал:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.59)

Подставим  (2.3.58) 

в  (2.3.59) 

$Undefined~formula$ формулы (2.3.60)

Раскрывая в  (2.3.60) 

скобки и опуская члены второго порядка малости, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.61)

Полученное выражение  (2.3.61)  , представляет собой произведение двух тензоров второго ранга. Такое произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если один тензор симметричный, а второй – антисимметричный. Значит, поскольку тензор XⁱX^k - симметричный, тензор $d{\Omega _{ik}}$ - должен быть антисимметричным. То есть:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.62)

Рассмотрим теперь вариацию действия в формуле  (2.3.62) 

при повороте системы координат:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.63)

При бесконечно малом повороте, вариация координаты в  (2.3.63) 

это разность координат в разных системах отсчета, из  (2.3.58) 
получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.64)

Подставим  (2.3.64) 

в  (2.3.63) 

$Undefined~formula$ формулы (2.3.65)

Рассмотрим теперь два вспомогательных тензора: антисимметричный и симметричный тензоры A_ik и B_ik, сумма которых даст тензор P_iX_k:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.66)

Сделаем замену  (2.3.66) 

в формуле  (2.3.65) 

$Undefined~formula$ формулы (2.3.67)

Во втором слагаемом в  (2.3.67)  , стоит произведение симметричного и антисимметричного тензора, значит это слагаемое равно нулю.

Таким образом, учитывая, что вариация действия должна равняться нулю, из  (2.3.67) 

получаем:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.68)

Формула  (2.3.68) 

определяет антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого сохраняется при повороте системы координат в четырехмерном пространстве. Этот тензор и называют 4-тензором момента импульса частицы:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.69)

Легко заметить, что ненулевые, чисто пространственные компоненты тензора  (2.3.69)  , совпадают с «классическим» трехмерным моментом импульса:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.70)

Три смешанные компоненты тензора  (2.3.69)  , представляют собой вектор:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.71)

Можно объединить  (2.3.70) 

и  (2.3.71) 

, тогда тензор момента импульса можно записать в виде матрицы из двух векторов:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.72)

Формула  (2.3.72) 

определяет четырехмерный момент импульса одной частицы. Так как момент импульса — это аддитивный интеграл движения, то для множества частиц формула  (2.3.72) 
примет вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.73)

В левой части  (2.3.73) 

компоненты 4-момента сохраняются, а в правой части трехмерный момент импульса сохраняется, значит сохраняется и вектор  (2.3.71) 

$Undefined~formula$ формулы (2.3.74)

Можно преобразовать  (2.3.74) 

$Undefined~formula$ формулы (2.3.75)

В формуле  (2.3.75) 

вектор ${\overrightarrow {R}}$ — это релятивистское определение радиус-вектора центра инерции системы. Скорость ${\overrightarrow {V}}$ — это скорость системы частиц как целого.

Можно заметить, что если скорости всех частиц много меньше скорости света, то энергия покоя будет много больше кинетической энергии и для центра инерции получится «классическое» выражение:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.76)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление