Основы теоретической физики/Момент импульса
2.3.7. Момент импульса
правитьМомент импульса в Лагранжевой механике сохраняется благодаря тому, что функция Лагранжа не изменяется при любых трехмерных поворотах системы координат, то есть из-за изотропии пространства. Для релятивистского момента импульса можно вывести аналогичный закон.
Пусть Xi – это 4-вектор координат частицы. Если сделать бесконечно малый поворот системы координат в четырехмерном пространстве, то координаты частицы поменяются на X'i. Изменение координат при повороте можно представить как сумму изменений координат при поворотах вокруг каждой оси:
Длина 4-вектора не изменяется при поворотах, так как это интервал:
Подставим (2.3.58)
в (2.3.59)
Раскрывая в (2.3.60)
скобки и опуская члены второго порядка малости, получим:
Полученное выражение (2.3.61)
, представляет собой произведение двух тензоров второго ранга. Такое произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если один тензор симметричный, а второй – антисимметричный. Значит, поскольку тензор XiXk - симметричный, тензор - должен быть антисимметричным. То есть:
Рассмотрим теперь вариацию действия в формуле (2.3.62)
при повороте системы координат:
При бесконечно малом повороте, вариация координаты в (2.3.63)
это разность координат в разных системах отсчета, из (2.3.58)
получим:
Подставим (2.3.64)
в (2.3.63)
Рассмотрим теперь два вспомогательных тензора: антисимметричный и симметричный тензоры Aik и Bik, сумма которых даст тензор PiXk:
Сделаем замену (2.3.66)
в формуле (2.3.65)
Во втором слагаемом в (2.3.67)
, стоит произведение симметричного и антисимметричного тензора, значит это слагаемое равно нулю.
Таким образом, учитывая, что вариация действия должна равняться нулю, из (2.3.67)
получаем:
Формула (2.3.68)
определяет антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого сохраняется при повороте системы координат в четырехмерном пространстве. Этот тензор и называют 4-тензором момента импульса частицы:
Легко заметить, что ненулевые, чисто пространственные компоненты тензора (2.3.69)
, совпадают с «классическим» трехмерным моментом импульса:
Три смешанные компоненты тензора (2.3.69)
, представляют собой вектор:
Можно объединить (2.3.70)
и (2.3.71)
, тогда тензор момента импульса можно записать в виде матрицы из двух векторов:
Формула (2.3.72)
определяет четырехмерный момент импульса одной частицы. Так как момент импульса — это аддитивный интеграл движения, то для множества частиц формула (2.3.72)
примет вид:
В левой части (2.3.73)
компоненты 4-момента сохраняются, а в правой части трехмерный момент импульса сохраняется, значит сохраняется и вектор (2.3.71)
Можно преобразовать (2.3.74)
В формуле (2.3.75)
вектор — это релятивистское определение радиус-вектора центра инерции системы. Скорость — это скорость системы частиц как целого.
Можно заметить, что если скорости всех частиц много меньше скорости света, то энергия покоя будет много больше кинетической энергии и для центра инерции получится «классическое» выражение: