Основы алгебры/Дискриминант
Определение дискриминанта
правитьДискримина́нт многочлена , есть произведение
- , где — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Свойства
править- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- , где — результант многочлена и его производной .
- В частности, дискриминант многочлена
- равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:
1 | . | . | . | 0 | . | . | . | 0 | |||
0 | 1 | . | . | . | 0 | . | . | 0 | |||
0 | 0 | 1 | . | . | . | 0 | . | 0 | |||
. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | . | . | . | |||
. | . | 0 | 0 | . | . | . | 0 | ||||
0 | . | . | 0 | 0 | . | . | 0 | ||||
0 | 0 | . | . | 0 | 0 | . | 0 | ||||
. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . | . | 0 | ||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . | . |
Примеры
править- Дискриминант D квадратного трёхчлена равен . При корней — два, и они вычисляются по формуле
- (1)
- при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
- при вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
- Дискриминант многочлена равен
-
- В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .