Интегральное исчисление/Понятие о неопределённом интеграле

← Введение | Понятие о неопределённом интеграле | Таблица интегралов →

---

Рассмотрим некоторую функцию $f(x)$, непрерывную на конечном или бесконечном отрезке ${\mathcal {X}}$ (при этом предполагается, что функция непрерывна на интервале $(a,\;b)$ и имеет правую производную в точке $a$ и левую производную — в точке $b$).

Определение 2.1.  Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ в данном отрезке, если $f(x)$ является производной для функции $F(x)$ или, иначе, $f(x)\,dx$ служит для $F(x)$ дифференциалом:

$F'(x)=f(x)$ или $dF(x)=f(x)\,dx$.(2.1)

Теорема 2.1.  Если на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или нет) ${\mathcal {X}}$ задана первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$, то и функция $F(x)+C$, где $C$ — постоянная, также будет первообразной. Верно и обратное, каждая функция, первообразная для $f(x)$ в промежутке ${\mathcal {X}}$, может быть представлена как $F(x)+C$.

Доказательство теоремы 2.1

Из правил дифференцирования следует, что если функция $F$ есть первообразная для функции $f$ на ${\mathcal {X}}$ и $C=\mathrm {const}$, то функция $F(x)+C$ также является первообразной для $f$, так как

$(F(x)+C)'=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).$(2.2)

Докажем теперь обратное утверждение. Рассмотрим функцию $\Phi (x)=F_{2}(x)-F_{1}(x)$, где $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — две различные первообразные для функции $f(x)$.

Очевидно, что

$\Phi '(x)=(F_{2}(x)-F_{1}(x))'=F_{2}(x)'-F_{1}(x)'=f(x)-f(x)\equiv 0,$(2.3)

тогда из условия постоянства функции на промежутке следует, что

$\Phi (x)=F_{2}(x)-F_{1}(x)\equiv C.$(2.4)

Следовательно, если $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — различные первообразные для $f(x)$ на ${\mathcal {X}}$, то они отличаются друг от друга на всём промежутке ${\mathcal {X}}$ на некоторую постоянную $C$:

$F_{2}(x)=F_{1}(x)+C.$(2.5)

Определение 2.2.  Неопределённым интегралом функции $f(x)$, заданной на промежутке ${\mathcal {X}}$, называется наиболее общий вид её первообразной и обозначается символом

$\int f(x)\,dx,$(2.6)

при этом $f(x)$ называется подынтегральной функцией, $f(x)\,dx$ — подынтегральным выражением, а $x$ — переменная интегрирования.

В силу теоремы 2.1 можно написать:

$\int f(x)\,dx=F(x)+C,$(2.7)

где $C$ — произвольная постоянная.

Непосредственно из определения неопределённого интеграла следуют следующие утверждения:

1. Дифференциал (производная) интеграла равен подынтегральному выражению:

$d\int f(x)\,dx=f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x).$(2.8)

2. Интеграл от дифференциала первообразной равен сумме этой первообразной и произвольной константы:

$\int dF(x)=F(x)+C.$(2.9)

Последнее утверждение явно доказывается, если его переписать в виде:

$\int F'(x)\,dx=F(x)+C$(2.10)

и учесть, что по определению первообразной $F'(x)=f(x)$.

Из этих двух утверждений следует, что математические операции «дифференцирование» и «интегрирование» взаимно уничтожают друг друга, главное необходимо учесть появление произвольной постоянной $C$.

Геометрическая интерпретация

Рисунок 2.1. Интегральные кривые для $\scriptstyle {y'=x^{2}-x-1}$.

Рассмотрим геометрическое толкование интегрирования.

Определение 2.3.  Интегральной кривой функции $f(x)$ называется геометрическое место точек, удовлетворяющих выражению

$y'=f(x),$(2.11)

или, что тоже самое, график первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$

$y=F(x).$(2.12)

Иными словами, это кривая, касательная к которой при любом значении $x$ имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом

$y'=f(x),$(2.13)

то есть при любом значении независимой переменной $x$ интегральная кривая задаёт направление касательной к кривой $y=f(x)$.

Если построена одна такая интегральная кривая, то по теореме 2.1 можно построить всё семейство интегральных кривых (рисунок 2.1), для этого нужно передвигать её на любой отрезок параллельно оси $OY$. Таким образом семейство описывается уравнением:

$y=F(x)+C.$(2.14)

Для того чтобы определить положение конкретной интегральной кривой, то есть получить выражение искомой первообразной функции, нужно задать какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, например, через точку с координатами $(x_{0};\;y_{0})$. Подставляя эти начальные значения в уравнение (2.13), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной $C$:

$y_{0}=F(x_{0})+C,$(2.15)

тогда окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид:

$y=F(x)+[y_{0}-F(x_{0})].$(2.16)

Пример

Пример 4.1. Найти неопределённый интеграл от функции $f(x)=|x|$.

Решение. Согласно (2.1) можно записать, что $F'(x)=f(x)$. Распишем определение $|x|$:

$f(x)={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}$(2.17)

Значит,

$F'(x)={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}$(2.18)

Так как

$(x^{2})'={\begin{cases}2|x|,&x\geqslant 0;\\-2|x|,&x<0,\end{cases}}$(2.19)

то можно записать, что

$F(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}},&x\geqslant 0;\\-{\dfrac {x^{2}}{2}},&x<0.\end{cases}}$(2.20)

По определению 2.2 неопределённый интеграл от функции $f(x)=|x|$ будет иметь вид

$\int |x|\,dx={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}}+C_{1},&x\geqslant 0;\\-{\dfrac {x^{2}}{2}}+C_{2},&x<0,\end{cases}}$(2.21)

где $C_{1},\;C_{2}$ — произвольные константы.

Выражение (2.21) можно записать проще, если потребовать непрерывность интеграла в точке $x=0$, то есть нужно найти такие постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$, чтобы удовлетворялось равенство:

$\left.\left({\frac {x^{2}}{2}}+C_{1}\right)\right|_{x=0}=\left.\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+C_{2}\right)\right|_{x=0}.$(2.22)

Очевидно, что последнее равенство выполняется при $C_{1}=C_{2}=C$, тогда (2.21) можно переписать как

$\int |x|\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x+C={\frac {x|x|}{2}}+C,$(2.23)

где $\operatorname {sgn} x$ — знак числа $x$.