Интегральное исчисление/Введение

Введение | Понятие о неопределённом интеграле →

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения.

Зачатки интегрального исчисления можно найти в трудах Архимеда (287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.): в сочинении «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах некоторых тел. Для решения этих задач Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н. э. — ок. 355 г. до н. э.).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.

Систематическое развитие эти методы получают в XVII веке в работах Кавальери (1598—1647), Торричелли (1608—1647), П. Ферма (1601—1665), Б. Паскаля (1623—1662) и других учёных. Но их изыскания в основном имели разрозненный и утилитарный характер — решались конкретные самостоятельные задачи. В 1659 году И. Барроу (1630—1677) установил взаимосвязь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной.

Основы классического интегрального исчисления были заложены в работах И. Ньютона (1643—1727) и Г. Лейбница (1646—1716), которые в 70-х годах XVII века отвлеклись от упомянутых частных прикладных задач и установили связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Это позволило Ньютону, Лейбницу и их ученикам развить технику интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера (1707—1783). Развитие методов завершили труды М. В. Остроградского (1801—1861) и П. Л. Чебышёва (1821—1894).

Исторически под интегралом понимали площадь криволинейной трапеции, образованной заданной кривой $f(x)$ и осью координат. Для нахождения этой площади отрезок $ab$ разбивали на $n$ необязательно равных частей и строили ступенчатую фигуру (на рисунке 1.1 она заштрихована). Её площадь равна

F_{n}=y_{0}\,dx_{0}+y_{1}\,dx_{1}+\ldots +y_{n-1}\,dx_{n-1},

(1.1)

где $y_{i}$ — значение функции $f(x)$ в $i$ -той точке ( $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1$ ), а $dx_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ .

Г. Лейбниц в конце XVII века обозначил предел этой суммы как

\int y\,dx.

(1.2)

На тот момент понятие предела ещё не сформировалось, поэтому Лейбниц ввёл новый символ для суммы бесконечного числа слагаемых $\int$ — видоизменённую курсивную латинскую «S» — первую букву лат. summa (сумма).

Слово «интеграл» происходит от лат. integralis — целостный. Это название было предложено учеником Лейбница Иоганном Бернулли (1667—1748), чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

В дальнейшем обозначение Лейбница усовершенствовал Ж. Фурье (1768—1830). Он явно стал указывать начальное и конечное значение $x$ :

\int \limits _{a}^{b}y\,dx

(1.3)

введя тем самым современное обозначение определённого интеграла.

В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность).

Неопределённый интеграл суть функция (точнее, семейство функций).

Интегрирование, в противоположность дифференцированию, рассматривается как искусство, что связано в первую очередь с малым количеством закономерностей, которым бы удовлетворяли все интегралы. При этом для существования интеграла, по основной теореме интегрального исчисления, необходима лишь непрерывность интегрируемой функции. Факт существования интеграла не даёт хоть какого-нибудь способа его нахождения в замкнутой форме, то есть в виде конечного числа операций над элементарными функциями. Многое в вопросе о нахождении интегралов в замкнутой форме было решено в работах Ж. Лиувилля (1809—1882). Дальнейшее развитие эта тема получила в работах, посвящённых разработке алгоритмов символьного интегрирования с использованием ЭВМ. В качестве примера можно привести алгоритм Риша.

Желая подчеркнуть обратность интегрирования по отношению к дифференцированию, некоторые авторы, используют термин «антидифференциал» и обозначают неопределённый интеграл символом $D^{-1}$ .