Аналитическая геометрия/Векторы и действия над ними

Вектор — направленный отрезок прямой.

Линейные пространства

Вектор — элемент линейного (векторного) пространства.

Линейное пространство — структура, состоящая из $V$ — множества элементов (векторов); F — поле элементов (скаляров); операции сложения векторов, то есть $V\times V\to V|\forall x,y\exists !c:x+y=c;x,y,c\in V$ ; операции умножения вектора на скаляр, то есть $F\times V\to V|\forall x,\lambda \exists !c:\lambda *x=c;x,c\in V,\lambda \in F$ .

Линейное пространство подчиняется аксиомам:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ (коммутативность сложения);
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ (ассоциативность сложения);
существует такой элемент $\mathbf {0} \in V$ , что $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ для любого $\mathbf {x} \in V$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства $V$ ;
для любого $\mathbf {x} \in V$ существует такой элемент $-\mathbf {x} \in V$ , что $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ , называемый вектором, противоположным вектору $\mathbf {x}$ ;
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Заметим, что на множестве $V$ — абелева группа по сложению.

Отношения между векторами

Два вектора коллинеарны, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Можно определить по другому: два ненулевых вектора ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ называются коллинеарными, если существует некоторое число $\alpha$ такое, что ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$ .

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, имея общее начало.

Коллинеарность - отношение эквивалентности.

Два вектора равны, когда они равны их длины и они коллинеарны.

Сложение (вычитание) векторов

Сумма (разность) двух векторов - вектор.

Векторы можно складывать алгебраически и геометрически.

Для первого способа нужно знать координаты обоих векторов. Тогда ${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})$

Cлева — сумма векторов по правилу параллелограмма, справа — по правилу треугольника

Геометрически можно складывать по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.

Для сложения двух векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Для сложения двух векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Произведение вектора на скаляр

$\lambda *{\vec {a}}={\vec {c}}$ .

Линейная комбинация

Выражение вида: $\lambda _{1}*{\vec {a_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {a_{2}}}+...+\lambda _{n}*{\vec {a_{n}}}$ ( $\lambda _{i}$ — числа; $1<i<n$ ) называется линейной комбинацией векторов.

Вектор раскладывается, когда он представляется в виде линейной комбинации ( $\lambda _{1}*{\vec {a_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {a_{2}}}+...+\lambda _{k}*{\vec {a_{k}}}={\vec {b}}$ ).