Аналитическая геометрия/Векторное произведение

Аналитическая геометрия

---

1. Векторы и действия над ними
2. Базис
3. Системы координат
4. Скалярное произведение
5. Векторное произведение
6. Смешанное произведение
7. На плоскости
8. В пространстве
9. Кривые второго порядка
10. Поверхности второго порядка
11. Отображения и преобразования плоскости
12. Аффиные преобразования
13. Ортогональные преобразования

Векторное произведение - вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой.

Определение

Векторное произведение двух векторов $a,b$ - вектор $c$:

1. $[{\vec {a}},{\vec {b}}]=|a|*|b|*sin{\varphi }={\vec {c}}$, где $\varphi$ — угол между векторами.
2. ${\vec {c}}$ ортогонален ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$;
3. Тройка векторов: ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$ - правая.

Свойства

1. $[{\vec {a}},{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$
2. $[\lambda *{\vec {a}},{\vec {b}}]=\lambda [{\vec {a}},{\vec {b}}]$
3. $[{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {a}},{\vec {c}}]+[{\vec {b}},{\vec {c}}]$
4. $[{\vec {a}},{\vec {a}}]=0$

Тождества

Тождество Якоби: $[[{\vec {a}},{\vec {b}}],{\vec {c}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],{\vec {b}}]+[[{\vec {b}},{\vec {c}}],{\vec {a}}]=0$.

Тождество Лагранжа: $[{\vec {a}},[{\vec {b}},{\vec {c}}]]={\vec {b}}*({\vec {a}},{\vec {c}})-{\vec {c}}*({\vec {a}},{\vec {b}})$.

$|[{\vec {a}},{\vec {b}}]|^{2}+({\vec {a}},{\vec {b}})^{2}=|{\vec {a}}|^{2}*|{\vec {b}}|^{2}$.