54 Национальная олимпиада Болгарии по математике

Подробнее об олимпиаде читайте в №6, 2005 журнала Потенциал, а также по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200506261939PH7C03J6

Первый деньПравить

1. Найдите все тройки натуральных чисел  , для которых   – натуральное число.

2. Окружности   и   касаются внешним образом в точке Т. Некоторая прямая пересекает   в точках А и В и касается   в точке Х. Прямая ХТ пересекает   в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY – такая касательная к окружности   , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I – точка пересечения прямых XY и SC , то

а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;

б) точка I является центром вневписанной окружности   касающейся стороны ВС.

3. Пусть M – множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?

Второй деньПравить

4. Пусть   получен из   поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков   соответственно. Найдите  , если   и EM = FM.

5. Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.

6. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что   делится на ab и a + b делится на   Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно  


Ответы и указанияПравить

1. Одно из чисел равно   два других равны   Докажите, что каждое слагаемое – число, обратное натуральному.

2. а) Покажите, например, что S – середина дуги АВ. Тогда  

б) Из подобия   с учётом а) следует  , откуда SA = SI. Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI – биссектрисы внешних углов  

3. Не существует. Покажите, что для такого множества из   следует   Тогда множество A бесконечно и для любого i   Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем  , не представимо в указанном виде.

4.  . Докажите вначале, что   – равносторонний.

5. Выигрышными являются игры с  

6. Докажите вначале, что если для натуральных чисел x, y, n выполнено неравенство   то   причём равенство выполняется при   По условию     Для       следовательно,