54 Национальная олимпиада Болгарии по математике

Подробнее об олимпиаде читайте в №6, 2005 журнала Потенциал, а также по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200506261939PH7C03J6

Первый день

1. Найдите все тройки натуральных чисел $\left({x,y,z}\right)$, для которых ${\sqrt {\frac {2005}{x+y}}}+{\sqrt {\frac {2005}{x+z}}}+{\sqrt {\frac {2005}{y+z}}}$ – натуральное число.

2. Окружности $k_{1}$ и $k_{2}$ касаются внешним образом в точке Т. Некоторая прямая пересекает $k_{1}$ в точках А и В и касается $k_{2}$ в точке Х. Прямая ХТ пересекает $k_{1}$ в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY – такая касательная к окружности $k_{2}\left({Y\in k_{2}}\right)$ , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I – точка пересечения прямых XY и SC , то

а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;

б) точка I является центром вневписанной окружности $\Delta ABC,$ касающейся стороны ВС.

3. Пусть M – множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?

Второй день

4. Пусть $\Delta A'B'C'$ получен из $\Delta ABC$ поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков $BA',AC,B'C$ соответственно. Найдите $\angle EMF$, если $AC\neq BC$ и EM = FM.

5. Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.

6. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что $c\left({c^{2}-c+1}\right)$ делится на ab и a + b делится на $c^{2}+1.$ Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно $c^{2}-c+1.$

Ответы и указания

1. Одно из чисел равно $2\cdot 2005,$ два других равны $14\cdot 2005.$ Докажите, что каждое слагаемое – число, обратное натуральному.

2. а) Покажите, например, что S – середина дуги АВ. Тогда $\angle TCI=\angle TAS=\angle BXT=\angle TYX=\angle TYI.$

б) Из подобия $\Delta AXC\sim \Delta TAS$ с учётом а) следует $\Delta SXI\sim \Delta SIT$, откуда SA = SI. Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI – биссектрисы внешних углов $\Delta ABC.$

3. Не существует. Покажите, что для такого множества из $a\in {\rm {A}}$ следует ${\rm {A}}\cap \left({{\frac {a}{2}};a}\right)=\emptyset .$ Тогда множество A бесконечно и для любого i $a_{i+1}={\frac {a_{1}}{2^{i}}}.$ Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем $a_{1}$, не представимо в указанном виде.

4. $60^{0}$. Докажите вначале, что $\Delta AA'C$ – равносторонний.

5. Выигрышными являются игры с $t=2004+2005\cdot n,n\in N.$

6. Докажите вначале, что если для натуральных чисел x, y, n выполнено неравенство ${\frac {xy}{x+y}}>n,$ то ${\frac {xy}{x+y}}\geq n+{\frac {1}{n^{2}+2n+2}}$ причём равенство выполняется при $\left\{{x,y}\right\}=\left\{{n+1,n^{2}+n+1}\right\}.$ По условию $c\left({c^{2}-c+1}\right)=pab,$ $a+b=q\left({c^{2}+1}\right).$ Для $x=pqa,$ $y=pqb$ ${\frac {xy}{x+y}}>c-1,$ следовательно, ${\frac {xy}{x+y}}\geq c-1+{\frac {1}{c^{2}+1}}.$