46-я Международная математическая олимпиада

Рассказ о том, как проходила олимпиада, и фотографии можно найти по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200507252240PH7C03J7, а также в печатном номере журнала Потенциал — № 7, 2005.

Здесь приводятся условия задач и указания к их решениям.

Условия задачПравить

Задача 1Править

На сторонах равностороннего треугольника   выбраны шесть точек:  ,   на  ;  ,   на  ; и  ,   на  . Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника  , стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые  ,   и   пересекаются в одной точке.

Задача 2Править

Пусть  ,  , — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального   все   остатков от деления чисел   на   различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.

Задача 3Править

Пусть  ,   и   — положительные числа такие, что  . Докажите, что

 .

Задача 4Править

Последовательность   определена следующим образом:   ( ). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.

Задача 5Править

Дан выпуклый четырёхугольник  , стороны   и   которого равны, но не параллельны. Пусть   и   — внутренние точки отрезков   и   соответственно такие, что  . Прямые   и   пересекаются в точке  , прямые   и   пересекаются в точке  , прямые   и   пересекаются в точке  . Рассмотрим треугольники  , получаемые для всех таких точек   и  . Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от  .

Задача 6Править

На математической олимпиаде участникам были предложены 6 задач. Оказалось, что каждая пара задач была решена более чем   от общего числа участников, но никто не решил все 6 задач. Докажите, что найдутся по крайней мере два участника, каждый из которых решил ровно 5 задач.

Указания к решениям задачПравить

Задача 1Править

Ясно, что сумма векторов   нулевая, поэтому сумма векторов   также нулевая, следовательно прямые, содержащие векторы   образуют правильный треугольник. Отсюда несложно вывести, что вся конфигурация переходит в себя при повороте на   вокруг центра треугольника  .

Задача 2Править

Вначале несложно установить, что в последовательности каждое целое число встречается не более одного раза. Далее можно доказать по индукции, что для каждого   числа   — это   последовательных целых чисел, взятых в некотором порядке.

Задача 3Править

Одно из самых изящных решений принадлежит школьнику Юрию Борейко из команды Молдовы, оно было удостоено специального приза Международной олимпиады. В этом решении используется оценка

 .

Сложив три аналогичных неравенства, получаем, что утверждение задачи следует из верного неравенства

 

Задача 4Править

Достаточно показать, что для любого простого числа   найдётся такой номер  , что   делится на  . Случаи   и   легко разбираются. При   подходит  . Это можно доказать, используя малую теорему Ферма: если натуральное   не делится на простое  , то   даёт остаток 1 при делении на  .

Задача 5Править

Искомая точка является второй точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников   и  . Другое описание той же точки — как центр поворота, переводящего точки  ,  ,   соответственно в точки  ,  ,  .

Задача 6Править

Предположив, что верно противное, добавим участникам решённых задач так, чтобы один из них решил 5 задач, а все остальные — по 4. Далее, суммируя по всем ученикам количество пар решённых задач, и с другой стороны, оценивая эту сумму по всем парам задач, получим противоречие во всех случаях, кроме случая, когда количество участников даёт остаток 2 при делении на 5. Оставшийся случай можно разобрать, прибегнув к подсчёту двумя способами суммарного количества пар решённых задач, содержащих одну фиксированную задачу. При рассмотрении возникает противоречие с остатками при делении на 3.