Язык Си в примерах/Система счисления

Число 235 в десятичной системе счисления есть

235_{10}=2\cdot 10^{2}+3\cdot 10+5\,\!

Число 235 в восьмеричной системе счисления есть

235_{8}=2\cdot 8^{2}+3\cdot 8+5\,\!

Пусть $Q$ — натуральное число. Тогда представить число $N$ в Q-ичной системе счисления означает представить число $N$ в виде суммы различных степеней $Q$ с целыми коэффициентами из диапазона $[0;Q-1]$ :

N=a_{0}\cdot Q^{0}+a_{1}\cdot Q^{1}+a_{2}\cdot Q^{2}+...\,\!

Q-ичная запись числа $N$ — это набор коэффициентов $(a_{m},a_{m-1},...,a_{0})\,\!$ ,где $a_{m}\,\!$ — последний ненулевой коэффициент.

Вопросы

1. Докажите методом математической индукции, что это разложение существует и единственно. Для тренировки разберите отдельно случай $Q=2$ : любое натуральное число представляется в виде суммы различных степеней двойки и притом единственным образом.

Примеры:

$1_{10}=1_{2}\,\!$
$2_{10}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}=10_{2}\,\!$
$3_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}=11_{2}\,\!$
$4_{10}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}=100_{2}\,\!$
$5_{10}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}=101_{2}\,\!$
$15_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}=1111_{2}\,\!$
$16_{10}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=10000_{2}\,\!$
$255_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{7}=11111111_{2}\,\!$

2. Что делает приведённая ниже программа?

#include <stdio.h>
void main ()
{
    int n; 
    scanf ("%d", &n);
    while(n)
    {
        printf("%d", n%2);
        n /= 2;
    }
}

3. Напишите программу, которая введённое натуральное (число в десятичной записи) переводит в восьмеричную систему счисления.