Тригонометрические функции в курсе математики средней школы

Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с методикой обучения понятий либо методикой обучения действий.

Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — геометрическое. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций равноценными с научной точки зрения? На этот вопрос следует ответить отрицательно: геометрическое определение хуже. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно функциями угла. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции $\lg {x}$ и $\sin {x}$; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается $\sin {2}$, то всё-таки под этим символом понимается синус угла, равного двум радианам.

Напомним, что любая методика состоит из этапов формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ».

Шаг I. Тригонометрические функции острого угла

Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
Атанасяна	Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.	Через отношение сторон прямоугольного треугольника	Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)	От $0^{\circ }$ до $90^{\circ }$	Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов	Неявно
Смирновых	Отношение противолежащего углу $A$ катета к гипотенузе называется синусом угла $A$, обозначается $\sin {A}$. Отношение противолежащего углу $A$ катета к гипотенузе называется косинусом угла $A$, обозначается $\cos {A}$. Отношение противолежащего углу $A$ катета к прилежащему называется тангенсом угла $A$, обозначается $\mathrm {tg} \,{A}$. Отношение прилежащего к углу $A$ катета к противолежащему называется котангенсом угла $A$, обозначается $\mathrm {ctg} \,{A}$.				Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида $90^{\circ }-\alpha ^{\circ }$.	Явно оформляется в теореме

Подготовительный этап

Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

Мотивационный этап

На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы.

Ориентировочный этап

На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий:

• построение угла по заданным значениям тригонометрических функций;
• вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений.

Функциональная природа выявлена неявно, то есть термин «функция» не используется в определении тригонометрических функций. Почему? Дело в том, что авторы учебников акцентируют внимание учащихся на геометрическом аспекте тригонометрии. А именно её приложении в геометрии, что в основе своей рассматривается в теме: “Решение треугольников”.

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

Под выведением следствий понимается доказательство теорем о свойствах тригонометрических функций.

Данный этап зависит во многом от учебника.

Пример

Пример:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла $\alpha$ обозначается так:  $\cos {\alpha }$. Оказывается, что это отношение зависит только градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Теорема. Косинус угла зависит только от градусной меры угла.

Источник:

В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: зависимость одной величины от другой). Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, таблиц Брадиса).

Обучение применению тригонометрических понятий

Этот этап подразумевает:

1. Непосредственное применение понятий — выражение неизвестного элемента треугольника через известное;
2. Установление внутрипредметных связей — решение прямоугольных треугольников.

Шаг II. Тригонометрические функции угла от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$

Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
Атанасяна	Для любого угла $\alpha$ из промежутка $0^{\circ }\leqslant {\alpha }\leqslant 180^{\circ }$ синусом угла $\alpha$ называется ордината $y$ точки $M$, а косинусом угла $\alpha$ — абсцисса $x$ точки $M$. Тангенсом угла $\alpha$ ($\alpha \neq 90^{\circ }$) называется отношение ${\dfrac {\sin {\alpha }}{\cos {\alpha }}}$.	С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат.	Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла)	От $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в $90^{\circ }$.	Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов: $90^{\circ }-\alpha ^{\circ }$, $180^{\circ }-\alpha ^{\circ }$.	Неявно
Смирновых	Синусом тупого угла $A$ будем называть отношение $BC$ [длины перпендикуляра] к $AB$ [длине наклонной], т. е. $\sin {A}={\frac {BC}{AB}}$. Иначе говоря, синус тупого угла $A$ равен синусу угла, смежного с углом $A$, т. е. $\sin {A}=\sin {\left(180^{\circ }-A\right)}$. Косинусом тупого угла $A$ называют отношение $AC$ [длины проекции наклонной] к $AB$ [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. $\cos {A}=-{\frac {AC}{AB}}$. Иначе говоря, косинус тупого угла $A$ равен косинусу угла, смежного с углом $A$, взятым со знаком «минус», т. е. $\cos {A}=-\cos {\left(180^{\circ }-A\right)}$. Тангенс и котангенс тупого угла $A$ определяются равенствами $\mathrm {tg} \,{A}={\dfrac {\sin {A}}{\cos {A}}}$, $\mathrm {ctg} \,{A}={\dfrac {\cos {A}}{\sin {A}}}$.	Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной. Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы.			Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов: $90^{\circ }+\alpha ^{\circ }$, $180^{\circ }-\alpha ^{\circ }$. Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи.

Подготовительный этап

Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём.

Мотивационный этап

На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.).

Ориентировочный этап

Аналогично тому, что здесь.

Этап выведения следствий (в виде формул)

В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид:

• $90^{\circ }+\alpha ^{\circ }$;
• $180^{\circ }-\alpha ^{\circ }$.

Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: решение косоугольных треугольников.

Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла

Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета. Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса.

На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии.

Учебник	Определения	Подход к определениям	Природа образования аргумента	Область значений аргумента	Область применения тригонометрических функций	Функциональная природа
Колягина	Синусом угла $\alpha$ называется ордината точки, полученной поворотом точки $\left(1;\,0\right)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ (обозначается $\sin {\alpha }$). Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса точки, полученной поворотом точки $\left(1;\,0\right)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$). Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается $\mathrm {tg} \,{\alpha }$). В преобразованиях иногда используется котангенс угла $\alpha$ (и обозначается $\mathrm {ctg} \,{\alpha }$), который определяется формулой $\mathrm {ctg} \,{\alpha }={\dfrac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}$.	С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат.	Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения). Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.	Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида $90^{\circ }+180^{\circ }\cdot n\mid n\in \mathbb {Z}$, а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме $180^{\circ }\cdot t\mid t\in \mathbb {Z}$.	Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения	Явно, поскольку изучаются свойства функций.
Нелина	Синусом угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $P_{\alpha }\left(x;\,y\right)$ окружности к её радиусу: $\sin {\alpha }={\dfrac {y}{R}}$. Косинусом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $P_{\alpha }\left(x;\,y\right)$ окружности к её радиусу: $\cos {\alpha }={\dfrac {x}{R}}$. Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $P_{\alpha }\left(x;\,y\right)$ окружности к её абсциссе: $\mathrm {tg} \,{\alpha }={\dfrac {y}{x}}$ (конечно, при $x\neq 0$). Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $P_{\alpha }\left(x;\,y\right)$ окружности к её ординате: $\mathrm {ctg} \,{\alpha }={\dfrac {x}{y}}$ (при $y\neq 0$).	С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат. В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций.

Задание

Найдите определения тригонометрических функций в учебнике Е. П. Нелина, сформулированные для единичной окружности.

Подготовительный этап

Повторить и сформировать понятие “угол поворота”. Действия, необходимые для формирования этого понятия:

1. построение на окружности точек, соответствующие углу поворота;
2. запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности.

Мотивационный этап

Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение.

Ориентировочный этап

Аналогично тому, что здесь.

На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции.

Ввести понятие “радиана”.

Этап формирования других свойств

Тут уже изучаются свойства функций:

• знаки по четвертям;
• чётность/нечётность;
• периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции).

Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые формулы тригонометрии. Перечислим их.

Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента

Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул.

1. Основное тригонометрическое тождество: «Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице». Символьная формулировка: $\sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }=1$. Формула доказывается при помощи теоремы Пифагора. Из этой формулы выводятся следствия:
2. Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. $\sin ^{2}{\alpha }=1-\cos ^{2}{\alpha }$. Цель: применение в преобразованиях выражений.
3. Формула $\sin {\alpha }=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\alpha }}}$, справедливая для любого аргумента $\alpha$. Цель: для вычисления тригонометрической функции.
4. Зависимость тангенса и котангенса: «Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице». Символьная формулировка: $\mathrm {tg} \,{\alpha }\cdot \mathrm {ctg} \,{\alpha }=1$, кроме аргументов $\alpha =90^{\circ }\cdot n\mid n\in \mathbb {Z}$.
5. Зависимость тангенса и косинуса.

   Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

   Дано: выражение $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }$, где $\alpha \neq 90^{\circ }+180^{\circ }\cdot n\mid n\in \mathbb {Z}$. Доказать, что $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {1}{\cos ^{2}{\alpha }}}$. Шаг Утверждение Обоснование 1 Напишем $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }=1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }$. Условие, рефлексивность отношения равенства. 2 Далее $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }=1+\left[{\dfrac {\sin {\alpha }}{\cos {\alpha }}}\right]^{2}$. Пункт 1, определение тангенса произвольного угла. 3 Тогда $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }=1+{\dfrac {\sin ^{2}{\alpha }}{\cos ^{2}{\alpha }}}$. Пункт 2, определение и свойство степени . 4 Теперь получим следующее: $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {\cos ^{2}{\alpha }+\sin ^{2}{\alpha }}{\cos ^{2}{\alpha }}}$. Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби. 5 Или: $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {\sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }}{\cos ^{2}{\alpha }}}$. Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения. 6 Наконец, приходим к равенству: $1+\mathrm {tg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {1}{\cos ^{2}{\alpha }}}$, что и требовалось доказать. Пункт 5, основное тригонометрическое тождество..

6. Зависимость котангенса и синуса.

   Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

   Дано: $\alpha \in \mathbb {R}$. Доказать, что $1+\mathrm {ctg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {1}{\sin ^{2}{\alpha }}}$. Шаг Утверждение Обоснование 1 Напишем $\sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }=1$. Условие, основное тригонометрическое тождество. 2 Далее $\left.\sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }=1\;\right\vert :\sin ^{2}{\alpha }\neq 0$. Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области. 3 Тогда ${\dfrac {\sin ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }}{\sin ^{2}{\alpha }}}={\dfrac {1}{\sin ^{2}{\alpha }}}$. Пункт 2, равносильный переход на области. 4 Теперь получим следующее: ${\dfrac {\sin ^{2}{\alpha }}{\sin ^{2}{\alpha }}}+{\dfrac {\cos ^{2}{\alpha }}{\sin ^{2}{\alpha }}}={\dfrac {1}{\sin ^{2}{\alpha }}}$. Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби. 5 Или: $1+\left[{\dfrac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}\right]^{2}={\dfrac {1}{\sin ^{2}{\alpha }}}$. Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени. 6 Наконец, приходим к равенству: $1+\mathrm {ctg} ^{2}\,{\alpha }={\dfrac {1}{\cos ^{2}{\alpha }}}$, которое выполняется при $\alpha \neq 90^{\circ }+180^{\circ }\cdot n\mid n\in \mathbb {Z}$. Пункт 5, определение котангенса произвольного угла.

7. Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений.

Блок Б. Формулы сложения и вычитания

Смотрите также: Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией. Теоремы сложения и разности двух аргументов.

Блок Е. Формулы приведения

Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента

Методы доказательства тождеств и неравенств

Поскольку на этапе формирования других III-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в метод тождественных преобразований.

Компоненты метода: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические.

Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие и́менно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались ошибки вроде этой: $\operatorname {ctg} {x}+\mathrm {ctg} \,{4x}=\operatorname {ctg} {5x}$. Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать!

Метод «от противного»

Суть: предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.

Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента

Подготовительный этап

Повторить предыдущие определения и все свойства функций.

Мотивационный этап

Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики.

Ориентировочный этап

На этом этапе ведущие действия:

• построение точек, углов и графиков;
• вычисление значений тригонометрических функций.

Формируем понятия: ордината и абсцисса точки.

Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий

1. Исследование и построение графиков функций;
2. Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции).

Методы решения тригонометрических уравнений

Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним).

Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре:

1. Разложение на множители
2. Замена переменной
3. Переход
4. Функциональный
5. Графический

Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации.

Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ)

Формы метода	Способы реализации	Примеры
ПТУ и сводящиеся к ним	По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции)
	Графический (построение графика функции)
	По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения)
$k\cdot f\left(x\right)=m$	Решение линейного уравнения относительно $f\left(x\right)$, а затем соответствующего тригонометрического
$f\left(ax+b\right)=m$, $f\left(x^{2}\right)=m$	Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического	$\cos {\left(3x+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}=-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$
$f^{2}\left(x\right)=m,\,m>0$	Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента	$\sin ^{2}{x}={\dfrac {1}{4}}$, т. к. ${\dfrac {1-\cos {2x}}{2}}={\dfrac {1}{4}}$
	Решение квадратного уравнения относительно $f\left(x\right)$, а далее решить ПТУ	$\sin ^{2}{x}={\dfrac {1}{4}}$, т. к. $\sin ^{2}{x}-{\dfrac {1}{4}}=0$

Метод замены переменной

Суть метода замены: сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента.

Формы метода	Способы реализации	Примеры
Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента. А также уравнения к ним сводящиеся	Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ.	$\sin ^{2}{x}-5\cos {x}+1=0$
Однородные уравнения (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся: $a\cdot \sin {x}+b\cdot \cos {x}=c$; $a\cdot \sin ^{2}{x}+b\cdot \sin {x}\cdot \cos {x}+c\cdot \cos ^{2}{x}=d$	Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ
	Для уравнения $a\cdot \sin {x}+b\cdot \cos {x}=c$ вводим вспомогательный аргумент (например, $\varphi =\mathrm {arctg} \,{\dfrac {b}{a}}$) и используем формулу $a\cdot \sin {x}+b\cdot \cos {x}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left\{x+\mathrm {arctg} \,{\dfrac {b}{a}}\right\}$. Получаем уравнение ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left\{x+\mathrm {arctg} \,{\dfrac {b}{a}}\right\}=c$.
Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид ${\mathcal {R}}\left(\sin {x}\pm \cos {x},\;\sin {x}\cdot \cos {x}\right)=0$, где ${\mathcal {R}}$ — рациональная функция двух переменных.	Заменой (подстановкой) $t=\sin {x}\pm \cos {x}$ сводится к рациональному уравнению ${\mathcal {R}}\left(t,\;\pm {\dfrac {t^{2}-1}{2}}\right)=0$. Тем самым решается квадратное уравнение относительно $t$, далее решается уравнение вида $\sin {x}\pm \cos {x}=t_{1,2}$, где $t_{1,2}$ — корни квадратного уравнения.	$3\left(\sin {x}+\cos {x}\right)+2\sin {x}\cos {x}+1=0$${\dfrac {1}{\cos {x}}}-{\dfrac {1}{\sin {x}}}+{\dfrac {1}{\sin {x}\cdot \cos {x}}}=4$
Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид ${\mathcal {R}}\left(\sin {x}\pm \cos {x},{\;}\sin {2x}\right)=0$, где ${\mathcal {R}}$ — рациональная функция двух переменных.	Заменой (подстановкой) $t=\sin {x}\pm \cos {x}$ сводится к рациональному уравнению ${\mathcal {R}}\left(t,{\;}{\pm }\left[{t^{2}-1}\right]\right)=0$. Тем самым решается квадратное уравнение относительно $t$, далее решается уравнение вида $\sin {x}\pm \cos {x}=t_{1,2}$, где $t_{1,2}$ — корни квадратного уравнения.	$2\left(1-\sin {2x}\right)-5\left(\sin {x}-\cos {x}\right)+3=0$
Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента	Применение формул из Блока А.	$2\left(\cos ^{4}{x}-\sin ^{4}{x}\right)=1$
	Использование универсальных тригонометрических подстановок (УТП).	$\cos {x}+{\dfrac {\sin {x}}{1+\cos {x}}}=1$
Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов	Применение формул из Блока Г и Блока Д.	$\cos 3x+\cos x=0,2$$\sin x-\sin 2x+\sin 3x-\sin 4x=0$$\cos {x}\cos {3x}=\cos {5x}\cos {7x}$
Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов	Использование УТП. В общем случае, это применение формул тригонометрии.	$3\sin {2x}-\cos {2x}-2\mathrm {tg} \,{x}+5\mathrm {ctg} \,{x}=4$

Какие формулы нужно применить, чтобы уравнения вида ${\mathcal {F}}\left(\sin {t};\,\cos ^{2}{t}\right)=0$ и ${\mathcal {F}}\left(\operatorname {tg} \,{t};\,\operatorname {ctg} \,{t}\right)=0$ свести к квадратному тригонометрическому уравнению?

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение неизвестная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с неизвестной обозначить одной буквой (новой переменной)

Пример

Пример:

Решите уравнение $2\sin ^{2}{x}-7\sin {x}+3=0$.

Комментарий: Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция $\sin x$. Поэтому удобно ввести новую переменную $t\rightleftharpoons \sin x$. После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.

Ответ: $\left\{\left.\left(-1\right)^{n}{\dfrac {\pi }{6}}+\pi n\;\right\vert \,n\in \mathbb {Z} \right\}$.

Решим следующую задачу разными приёмами.

Задача $\cos {x}+\sin {x}=0$.

Приём 1: применение основного тригонометрического тождества (ОТТ).

Компоненты:

1. Выразить $\cos {x}$ через $\sin {x}$.
2. Уединить радикал $\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}{x}}}$.
3. Возвести в квадрат полученное уравнение.
4. Привести подобные члены.
5. Решить уравнение: $\cos ^{2}{x}={\dfrac {1}{2}}$.
6. Проверить подстановкой в исходное (учёт появления посторонних корней, поскольку попутно было решено уравнение $\cos {x}=\sin {x}$).

Приём 2: применение формулы синуса двойного аргумента. Компоненты:

1. Написать формулу $\sin {2x}=\left(\cos {x}+\sin {x}\right)^{2}-1$.
2. Воспользоваться условием $\cos {x}+\sin {x}=0$, то есть подставить значение суммы, равное нулю, в формулу.
3. Решить уравнение: $\sin {2x}=-1$

Приём 3: применение определения и свойства ОТУ I-й степени. Компоненты:

1. Распознать ОТУ I-й степени.
2. Перенести $\cos {x}$ либо $\sin {x}$ в одну часть равенства.
3. Разделить уравнение на $\cos {x}$ либо $\sin {x}$.
4. Решить одно из уравнений: $\operatorname {tg} \,{x}=-1$ либо $\operatorname {ctg} \,{x}=-1$.

Приём 4: применение УТП. Компоненты:

1. Вместо $\cos {x}$ и $\sin {x}$ подставить выражения ${\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\,{\dfrac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\,{\dfrac {x}{2}}}}$ и соответственно ${\dfrac {2\operatorname {tg} \,{\dfrac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\,{\dfrac {x}{2}}}}$.
2. Учесть ОДЗ переменной $x\neq \pi +2\pi k$, где $k\in \mathbb {Z}$.
3. Умножить полученное уравнение на $1+\operatorname {tg} ^{2}\,{\dfrac {x}{2}}\neq 0$.
4. Решить квадратное тригонометрическое уравнение: $-\operatorname {tg} ^{2}\,{\dfrac {x}{2}}+2\operatorname {tg} \,{\dfrac {x}{2}}+1=0$.

Приём 5: применение формулы дополнительных аргументов (частный случай формулы приведения), формулы суммы косинусов двух аргументов. Компоненты:

1. Вместо $\sin {x}$ подставить выражение $\cos {\left({\dfrac {\pi }{2}}-x\right)}$.
2. Воспользоваться формулой $\cos {\alpha }+\cos {\beta }=2\cos {\dfrac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\dfrac {\alpha -\beta }{2}}$.
3. Разделить полученное уравнение на $2\cos {\dfrac {\pi }{4}}$.
4. Решить ПТУ: $\cos {\left(x-{\dfrac {\pi }{4}}\right)}=0$.

Приём 6: применение определения синуса и косинуса некоторого аргумента, нечётности синуса. Компоненты:

1. Уединить $\cos {x}$.
2. Получить уравнение-следствие $\cos {x}=\sin {\left(-x\right)}$.
3. Нарисовать тригонометрическую окружность.
4. Применить определения синуса и косинуса.
5. Получить на окружности две точки, для которых выполняется требуемое равенство.
6. Записать аналитически семейство этих решений.

Приём 7: применение формулы косинуса разности (либо же синуса суммы). Компоненты:

1. „Домножить” обе части исходного равенства на ${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$.
2. Получить уравнение-следствие ${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}\cos {x}+{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}\sin {x}=0$.
3. Воспользоваться табличными значениями для синуса и косинуса от аргумента ${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$.
4. «Свернуть» либо по формуле $\cos {\alpha -\beta }=\cos {\alpha }\cos {\beta }+\sin {\alpha }\sin {\beta }$, либо по формуле $\sin {\alpha +\beta }=\sin {\alpha }\cos {\beta }+\cos {\alpha }\sin {\beta }$.
5. Решить одно из уравнений: $\cos {\left({\dfrac {\pi }{4}}-x\right)}=0$ либо $\sin {\left({\dfrac {\pi }{4}}+x\right)}=0$.

Приём 8: применение формулы введения вспомогательного аргумента. Компоненты:

1. Применить одну из формул: $\cos {x}+\sin {x}={\sqrt {2}}\cos {\left(x-{\dfrac {\pi }{4}}\right)}$ либо $\cos {x}+\sin {x}={\sqrt {2}}\sin {\left(x+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}$.
2. Заменить левую часть на выражение, стоя́щее в правой части одной из формул.
3. Разделить обе части уравнения на ${\sqrt {2}}$.
4. Решить одно из уравнений: $\cos {\left(x-{\dfrac {\pi }{4}}\right)}=0$ либо $\sin {\left({\dfrac {\pi }{4}}+x\right)}=0$.

Приём 9: построение графиков функций $y=\cos {x}$ и $y=\sin {\left(-x\right)}$. Компоненты:

1. Уединить $\cos {x}$.
2. Получить уравнение-следствие $\cos {x}=\sin {\left(-x\right)}$.
3. Построить графики функций $y=\cos {x}$ и $y=\sin {\left(-x\right)}$.
4. Пересечение обоих графиков даст искомые решения, указать их.
5. Записать аналитически семейство этих решений.

Приём 10: применение МЗФ функций синуса и косинуса. Компоненты:

1. Воспользоваться тем, что $\cos {x}\in \left[-1,\,1\right]$ и $\sin {x}\in \left[-1,\,1\right]$.
2. А также вспомнить, что обе функции одновременно не обращаются в нуль ни при каком аргументе (проверьте!).
3. Так как по модулю $\cos {x}$ равен $\sin {x}$, то их квадраты равны.
4. Поэтому $\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}=2\cdot \cos ^{2}{x}=1$, т. е. $\left\vert \cos {x}\right\vert =\left\vert \sin {x}\right\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$.
5. Следовательно, ${\begin{cases}\cos {x}={\dfrac {\sqrt {2}}{2}},\\\sin {x}=-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}\end{cases}}$ либо же ${\begin{cases}\cos {x}=-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}},\\\sin {x}={\dfrac {\sqrt {2}}{2}}\end{cases}}$.
6. Решить совокупность двух систем уравнений.
7. Записать аналитически семейство этих решений.

Ответ: $\left\{\left.-{\dfrac {\pi }{4}}+\pi n\;\right\vert \,n\in \mathbb {Z} \right\}$.

Задание

Рассортировать все приёмы, которые описаны в задаче, по методам решения.

Переходим ко второму довольно известному методу.

Метод разложения на множители

Суть метода разложения на множители: исходное уравнение привести к виду $f_{1}\left(x\right)\cdot f_{2}\left(x\right)\cdot \ldots \cdot f_{n}\left(x\right)=0$.

Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении.

Если левая часть уравнения является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, то корнями такого уравнения служат те и только те значения неизвестной, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, но ни один из остальных НЕ теряет числового смысла.

Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.

Теорема. Уравнение $f_{1}\left(x\right)\cdot f_{2}\left(x\right)=0$ равносильно совокупности двух систем ${\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=0,\\x\in {\mathcal {D}}_{f_{2}}\end{cases}}$ и ${\begin{cases}f_{2}\left(x\right)=0,\\x\in {\mathcal {D}}_{f_{1}}\end{cases}}$.

Другими словами, множество решений уравнения $f_{1}\left(x\right)\cdot f_{2}\left(x\right)=0$ есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем.

Формы метода	Способы реализации	Примеры
Разложение на множители при помощи приёмов алгебры	Вынесение общего множителя	$2\color {brown}\cos ^{2}{x}\color {black}-\color {brown}{\cos x}\color {black}\cdot \sin x=0$
	Группировка слагаемых	$\color {red}1\color {black}-{\sin {x}}\cdot \color {blue}{\cos {x}}\color {black}+\color {black}\color {red}\sin {x}\color {black}-\color {blue}{\cos {x}}\color {black}=0$
	Формулы сокращённого умножения
Разложение на множители при помощи формул тригонометрии	Применение формул из Блока Г	$2\sin {17x}+{\sqrt {3}}\cos {5x}+\sin {5x}=0$, т. к. $\sin {17x}+\sin {\left\{5x+{\dfrac {\pi }{3}}\right\}}=0$
	Применение формул из Блока Е	$\sin {5x}+\cos {x}=0$, т. к. $\cos {\left({\dfrac {\pi }{2}}-5x\right)}+\cos {x}=0$
Комбинация алгебры и тригонометрии	Формулы из Блока В, Блока Г и Блока Е	$3\sin {2x}+\cos {x}=0$, т. к. $\cos {x}\left(6\sin {x}+1\right)=0$

Пример

Пример:

Решите уравнение $\operatorname {tg} ^{3}{2x}-\operatorname {tg} \,{2x}=0$.

Комментарий: В заданное уравнение переменная входит только в виде $\operatorname {tg} \,{2x}$. Необязательно вводить новую переменную, а достаточно разложить на множители левую часть методами алгебры: определение и вынесение общего множителя, формула разности квадратов. Ответ записывается трёхточечным множеством.

Пример

Пример:

Решите уравнение $\sin {7x}=\sin {5x}$.

Комментарий: Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу. В таком случае приходится переносить все члены уравнения в одну сторону и пробовать получить произведение, равное нулю. Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:

$\sin {\alpha }-\sin {\beta }=2\sin {\dfrac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\dfrac {\alpha +\beta }{2}}.$

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всём множестве действительных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений $\sin {x}=0$ или $\cos {6x}=0$, и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.

Пример

Пример:

Решите уравнение $\sin {x}+\sin {3x}=\sin {4x}$.

Комментарий: Сразу переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю.

Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоя́щей в левой части уравнения, в произведение:

$\sin {\alpha }+\sin {\beta }=2\sin {\dfrac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\dfrac {\alpha -\beta }{2}}$

(учтём, что $\cos {\left(-x\right)}=\cos {x}$).

Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать $\sin {4x}$ как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится $\sin {2x}$). Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл. Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. действительных чисел. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел. Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений: $\sin {2x}=0$, или $\sin {\dfrac {3x}{2}}=0$, или $\sin {\dfrac {x}{2}}=0$, и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.

Рассмотрим следующий мтеод.

Метод перехода

Суть метода перехода: переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций.

Формы метода	Способы реализации	Примеры
Уравнение вида ${\mathcal {F}}\left(A\right)={\mathcal {F}}\left(B\right)$	Аркфункции	$\sin {A}=\sin {B}$
	ПТУ	$\mathrm {tg} \,{x}=-{\sqrt {3}}$
	По “готовой” формуле	$\sin {A}=\sin {B}$

Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода.

Функциональный метод

Формы метода	Способы реализации	Примеры
Использование свойств функции	Область определения функции
	Множество значений функции
	Ограниченность функции (метод мажорант)	$\cos {2x}+\cos {x}=2$, т. к. $\forall \theta \in \mathbb {R} :\cos {\theta }\leqslant 1$ $\sin {x}\sin {5x}=1$
	Монотонность функции
	Отсутствие решений (вообще либо на промежутке)

Графический метод

Формы метода	Способы реализации	Примеры
Слева и справа от знака равенства разные функции по природе	Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости	$\mathrm {ctg} \,{x}=\log _{2}{x}$, т. к. можно рассмотреть графики функций $y=\mathrm {ctg} \,{x}$ и $y=\log _{2}{x}$

Методы решения тригонометрических неравенств

Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод.

Задания

Задание

Проанализировать тригонометрические формулы выбранного учебника по схеме, представленной в таблице ниже.

Пример оформления

Тригонометрическая формула	Наличие/отсутствие доказательства	Метод доказательства
Косинус разности аргументов	Имеется	Векторный метод
Косинус суммы аргументов	Да	Метод тождественных преобразований
Сумма синусов двух аргументов	Есть	Метод тождественных преобразований
Формула введения вспомогательного аргумента через синус	Доказывается, применяя лемму	Лемма: координатный. Формула: тождественные преобразования
Формула введения вспомогательного аргумента через косинус	Таковая не упоминается вовсе.
...	...	...

Литература

• Бескин Н. М. Вопросы тригонометрии и её преподавания. — М.: Учпедгиз, 1950. — 140 с.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7—9: учеб. для обшеобразоват. учреждений. — 18-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 384 с. — 3 735 000 экз. — ISBN 978-5-7853-0953-1
• Смирнов В. А., Смирнова И. М. Геометрия: 9-й класс : учебник. — 2-е изд., стер. — М.: Просвещение, 2022. — 176 с. — 300 экз. — ISBN 978-5-09-093187-8
• Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. пособие для 6—10 кл. сред. шк.. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 1988. — 303 с. — 3 735 000 экз.
• Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 368 с. — 40 000 экз. — ISBN 978-5-09-025401-4
• Нелин Е. П., Лазарев В. А. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни. — М.: Илекса, 2011. — 480 с. — 5 000 экз. — ISBN 978-5-89237-336-4
• Нелин Е. П. Геометрия : двухуров. учеб. для 10-го кл. общеобразоват. учеб. заведений : академ. и профил. уровни. — Х.: Гимназия, 2010. — 240 с. — 3 000 экз. — ISBN 978-966-474-100-9
• Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. пособие для подготовит. отделений втузов. — М.: Высшая школа, 1976. — 304 с. — 280 000 экз.