Теория музыки для математиков/Тональный ряд

  Этот текст надо викифицировать. Пожалуйста, отформатируйте его согласно рекомендациям.

Теперь обратимся к последовательностям из элементов тонального множества (назовем их тональными последовательностями). Будем рассматривать (пока) лишь конечные последовательности (последовательности длины N). Обращением последовательности (x1, x2, …, xN) называется последовательность (x2, …, xN, x1). Если мы повторим операцию обращения i раз, то получим i-ое обращение. Саму последовательность будем для удобства называть своим нулевым обращением. Последовательность длины N имеет ровно N обращений — дальше все повторяется. Отношение «быть обращением» является отношением эквивалентности на множестве тональных последовательностей (рефлексивность, симметричность и транзитивность нетрудно проверить).

Тональным подмножеством назовем подмножество тонального множества. Любому такому множеству можно поставить в соответствие последовательность, если расставить элементы множества в возрастающем порядке. Такую последовательность назовем стандартной. Обратно — любая последовательность задает некоторое множество — множество своих элементов. Это соответствие взаимно однозначно. Особое место занимает класс порождающих тональных подмножеств. Порождающим тональным подмножеством называется тональное подмножество, расстояния между соседними элементами которого не превышает тона. (Соседство понимается в стандартной последовательности множества, последний элемент является соседним с первым.)

Пример порождающего множества мощности 9: {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11}

Лемма 1

Чтобы $S\subset T$ являлось порождающим множеством в T необходимо и достаточно чтобы любой элемент t из T либо сам лежал в S, либо #t и @t лежали в S (и соответственно t мог бы быть представлен повышением/понижением на полтона какого-либо элемента из S).

Доказательство.
Необходимость. Пойдем от противного. Возьмем t из T. Пусть $t\notin S$. Возьмем элементы #t и @t. По нашему допущению хотя бы один из них не лежит в S. Без ограничения общности положим, что #t не лежит в S. Возьмем наибольший элемент из S, не превосходящий @t и наименьший элемент из S, превосходящий #t. Расстояние между ними строго больше 2 (между ними как минимум t и #t), что противоречит тому, что S — порождающее множество. Предположение неверно и необходимость доказана.

Достаточность. Опять от противного. Пусть $\forall t\in T:t\in S\lor \#t\in S\lor \flat t(=t-1)\in S$ и S — не порождающее множество. Тогда

$\exists t^{*}\in S:\#t\notin S\land \#\#t\notin S\land \#\#\#t\notin S$.

Пусть $x=\#\#t=t+2$. Тогда

$x\in T,\quad x=\#\#t\notin S,\#x=\#\#\#t\notin S,\flat x=\#t\notin S$,

что противоречит первой посылке. Достаточность доказана.

Лемма 2

Если n — мощность порождающего множества S, то 6 < n < 12.

Доказательство. Обозначим через x — количество полутоновых интервалов между соседними элементами стандартной последовательности S, а через y — количество тоновых интервалов. Из того, что общее количество элементов — n следует, что x + y = n. Суммарная же длина всех интервалов составляет очевидно 12: x + 2y = 12. Очевидно также, что как x, так и y — неотрицательные. Получаем такую систему уравнений:

x + 2y = 12
x + y = n	(4)
x>0, y>0

Решая систему относительно x и y, получаем

x = 2n – 12 > 0	(5)
y = 12 – n  > 0

Откуда непосредственно вытекает искомый результат.

Лемма 3

Количество различных порождающих множеств мощности n равно

${\frac {n!}{(12-n)!(2n-12)!}}\quad (6)$

Доказательство. В нашей последовательности из n элементов встречается x полутонов. Количество способов, которыми можно выбрать места, на которых встречаются полутоны в последовательности есть $C_{n}^{x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}$. На остальных местах тогда стоят целые тоны. Подставив вместо x результаты из предыдущей леммы получаем желаемое. Тот же результат получается, если рассуждать не о полутонах, а о тонах — все симметрично.

Ноты

Особую роль играют порождающие множества мощности 7. Интересный вопрос — почему именно множества из 7 элементов. С ходу можно придумать как-минимум два объяснения из математических соображений. Имеют ли они под собой какую-то основу — непонятно. Первая идея: при построениии музыкального звукоряда мы использовали именно 7 октав. Вторая идея: 7 — это наименьшая мощность, при которой получается нетривиальное порождающее множество (то есть как расстояния между элементами фигурируют как тоны, так и полутоны). Множество мощности 6 состоит согласно предыдущей лемме лишь из тонов.

При n=7 мы имеем x = 2 и y = 5, а количество различных порождающих множеств — 21.

Рассмотрим класс тональных последовательностей x1, …, xN с такими свойствами:

• N = 7
• последовательность строго возрастающая, то есть x1 < x2 < … < x7
• интервал между соседними элементами последовательности не превышает одного целого тона (то есть составляет либо 1 полутон, либо 2), то есть 1 <= xi+1 — xi <=2, i = 1,…,6 и 1 <= x1 — x7 <=2 (интервал между последним элементом и первым также не превосходит 2)

Пример такой последовательности: (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11)

Главным порождающим множеством назывется следующее множество: {0, 2, 4, 5, 7, 9, 11}. Звуки этого множества имеют собственные обозначения:

===========================
номер	латинское   русское
       название    название
---------------------------
 0        C          до
 2        D          ре
 4        E          ми
 5        F          фа
 7        G          соль
 9        A          ля
11        H          си
===========================

В англоязычной традиции принято обозначать 11-ый звук не H, а B. В русской и немецкой традиции — H остается за 11-м звуком, а буквой B обозначается 10-й звук.

По лемме 1 все другие звуки могут быть получены из звуков главного множества понижением или повышением на полтона:

C, #C=@D, D, #D=@E, E, F, #F=@G, G, #G=@A, A, #A=@H=B, H

Данная запись и является традиционной музыкальной записью нот.

к содержанию