Теория игр

Игры в математике

Человек принимает решения и их последствия могут сильно отличаться в разных условиях. А ведь следует учесть, что когда мы принимаем решения и пытаемся их воплотить в жизнь, то далеко не все этим могут быть довольны, даже более того некоторые могут начать активно заняться противодействием нашим планам.Все это весьма банальные истины, которые известны нам чуть ли не с самого рождения. Однако так же с рождения нам известно, что наши решения, принимаемые в разных условиях очень сильно могут различаться в своих последствиях:конечно неприятно ошибиться с погодой на завтра и выйти без зонта под дождь, но совсем другое дело, если, например, местные власти, зная об угрозе урагана, не предпримут необходимых мер.Математикам то же стало интересно разработать формальные методы нахождения оптимальных стратегий поведения в различных ситуациях, где есть несколько вариантов вашего решения и различные варианты того как сложится после этого ситуация. Очень яркий пример игровой задачи представляет собой Пари Паскаля. Это весьма занимательный пример того как математику пытались привлечь в доказательства истинности веры. В дальнейшем это Пари будет рассмотрено, так как является довольно хорошим примером формализации проблемы для аппарата теории игр. Время шло и вот перед нами конец 19 века, а вместе с ними все большую роль в экономике играли монополии. У части экономистов (классики и неоклассики) исследования экономики строились на том, что человек ведет себя рационально, а значит принимает такие решения, которые были бы ему наиболее выгодны в данных условиях. Однако, исходя из этого, самые выгодные решения стремился принять и его контрагент в сделке. Самое важное здесь что экономисты считали, что каждый кто производит операции на рынке всегда будет действовать наиболее выгодно для себя. Исходя из таких соображений экономисты решили создать математические модели, которые описывали бы поведение монополий на рынке и их конкурентов. Эта задача решалась экономистами вполне в духе методов теории игр, где рассматривались различные алгоритмы действий игроков на рынке, проводилась оценка их полезности для каждой из сторон и на основе этого решался вопрос какую стратегию выберет каждый из участников рынка. Уже позже на методы, основанные на оценке полезности той или иной стратегии в конфликте для каждой из сторон обратили внимание военные. Фундаментальные результаты в области теории игр принадлежат и такому ученому как Джон Фон Нейман, который является автором принципов организации современных ЭВМ. Позже эту теорию на вооружение взяли опять же экономисты, управленцы, а так же социологи, психологи, работающие в области конфликтологии.

Теория игр рассматривает ситуации, где есть несколько сторон и каждая имеет свою цель в этом конфликте. Рассматриваются ситуации, когда игроки имеют строго противоположные интересы, но могут так же быть рассмотрены и те случаи, когда речь идет о том что у группы игроков могут быть сходные интересы и в результате они формируют коалицию, то есть группу с единой целью. Под игроками мы можем понимать: фирмы, противников в войне, обычных людей и т.д. Для достижения своих целей каждый игрок обладает набором стратегий и итогом ее применения является то что игрок может получить некоторую выгоду или наоборот понести потери. Задача решении игры найти оптимальное решение, исходя из того что:

• Каждый противник будет применять самую эффективную стратегию для достижения своих целей
• Каждый противник может располагать полным представлением о планах конкурента

Кроме того в рамках теории игр можно рассматривать особый случай, когда мы вынуждены принимать решения в условиях, когда может быть разные состояния окружающей среды (например различная погода) естественно в зависимости от ситуации наши решения могут быть с разной степенью полезности. Такой случай называют теориейстатистических игр или игр с природой, он то же будет рассмотрен далее.

Игра более формально

Итак, игра — это некий процесс, который описывает некоторую конфликтную ситуацию, которая вовлекает в себя 2 стороны или более. Мы будем называть их игроками. У каждого игрока есть некоторые ходы, действия в игре, и их мы назовем стратегиями. Каждая стратегия может принести нам некоторый выигрыш или наоборот, проигрыш. Важно отметить, что как это часто бывает и в жизни, проигрыш одной стороны — это выигрыш для другой. Численное значение проигрыша или выигрыша (иначе это можно назвать полезностью) от той или иной стратегии мы назовем ценой стратегии, а функцию, которая ставит стратегии ту или иную полезность (цену) мы назовем функцией полезности. Функция, как известно из курса матанализа, может быть задана в различных формах, в том числе матричной. Собственно говоря, функция полезности часто и задается как таблица, где различным стратегиям приписывается различная полезность. Рассмотрим пример построения модели процесса, который может быть описан методами теории игр.

Боевая операция с точки зрения теории игр

Итак, что нам нужно для начала исследования при помощи теории игр? Первое: определим сколько участников игры. Пусть будет только две стороны. Для удобства назовем одну из них Синие, а вторую Красные. Предположим что Синие наступают, а Красные находятся в обороне. Следующий вопрос: а какие есть стратегии у Красных и Синих? Предположим, что их у каждой стороны две. К примеру, за Синих: нанести удар по флангам или сосредоточить все силы для удара в центр позиций противника. А для Красных: создавать мощную оборону в несколько эшелонов, вторая стратегия — это, например, готовиться сразу же к контрнаступлению. Так как у каждой стороны две стратегии, то игру мы назовем "игра 2х2". Совершенно так же игра 4х3 это игра, где участвуют два игрока и у первого имеется 4 стратегии, а у второго 3. А теперь перед нами встает самая сложная задача: оценить полезность каждой из стратегий или иначе говоря стоимость каждой стратегии. Оценить ее можно в чем угодно: деньгах, объемах потраченного горючего, потерянных солдатах. Важно здесь, то что если мы, например, выбрали критерием оценки денежные затраты, то каждая стратегия должна оцениваться именно в деньгах, недопустимо следующее положение дел: одну стратегию вы оцениваете через затраты, а другую через потери. То есть для всех стратегий должна быть единая мера полезности.

Сама теория игр не дает нам методов определения полезности, это сугубо наша проблема. Для оценки полезности придется привлекать либо другие науки, либо наш опыт и интуицию. От правильности оценок полезности зависит корректность всего анализа; если они будут даны неверно, то и итоги исследования при помощи теории игр.

Как мы можем записать различные стратегии игроков и их цену? Можно при помощи дерева, что будет рассмотрено много позже, а можно при помощи таблицы (матрицы). Именно на таком варианте мы и остановимся. Что ж, предположим, что командование Красных рассматривает две своих стратегии и две стратегии Синих, направленных на отражение атаки Красных. Для