Аффинные преобразования: различия между версиями

Обозначим множество движений плоскости как <math>Mot\,\!</math>, а

множество аффинных преобразований как <math>Aff\,\!</math>. Тогда

<center><math>Mot \subset Aff.\,\!</math></center>

с коэффициентом <math>k\ne 0\,\!</math> называется преобразование плоскости,

при котором каждая точка <math>M\,\!</math> переходит в такую точку <math>M'\,\!</math>,

что расстояние от прямой <math>l\,\!</math> до <math>M'\,\!</math> в <math>k\,\!</math> раз больше, чем

до точки <math>M\,\!</math>, и проекция точек <math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> на прямую <math>l\,\!</math>

совпадают. Если коэффициент <math>k\,\!</math> положительный, то точки

<math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>,

Если преобразование <math>g\,\!</math> обратно преобразованию <math>f\,\!</math>,

а преобразование <math>f\,\!</math> обратно преобразованию <math>g\,\!</math>, то

<math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> взаимно однозначные преобразования.

Преобразование <math>g\,\!</math> называется '''обратным''' к преобразованию <math>f\,\!</math>, если

преобразование <math>g\,\!</math>, применённое после преобразования <math>f\,\!</math>, все точки

возвращает на свои места. Если преобразование <math>f\,\!</math> точку <math>A\,\!</math> переводит в точку <math>B\,\!</math>,

то обратное преобразование точку <math>B\,\!</math> переводит в точку <math>A\,\!</math>.

прямой <math>l\,\!</math>. Направим вдоль неё ось <math>X\,\!</math>. Рассмотрим любую

прямую <math>m\,\!</math>. Возможны два случая.

1) Если она пересекается с <math>l\,\!</math>, то проведем через точку

пересечения ось <math>Y\,\!</math>, перпендикулярную <math>X\,\!</math>. Тогда уравнение прямой

<math>m\,\!</math> будет иметь вид:

<center><math>y=a x.\,\!</math></center>

При растяжении относительно прямой <math>l\,\!</math> (оси <math>X\,\!</math>)

с коэффициентом <math>k\,\!</math> точка <math>(x,y)\,\!</math> переходит в точку <math>(x,ky)\,\!</math>:

<center>растяжение относительно оси 'X' : <math>(x,y) \to (x,ky)\,\!</math></center>

Точка <math>(x,\;y)=(x,\;ax)\,\!</math> прямой <math>m\,\!</math> перейдёт в точку с

координатами <math>(x',\;y')=(x,\; ky)=(x,\; k a x)\,\!</math>. А значит,

<center><math>y'=ka x'\,\!</math></center>

&mdash; это уравнение прямой. Итак образы точек прямой <math>y=a x\,\!</math> лежат

на прямой <math>y=k a x\,\!</math>.

2) Если она не пересекается с <math>l\,\!</math>.

''Задача 13.1[9]'' Случай, когда <math>m\,\!</math> не пересекается с <math>l\,\!</math>, рассмотрите самостоятельно.

Если <math>m\,\!</math> не пересекается с <math>l\,\!</math>, то

все точки <math>m\,\!</math> удалены от прямой <math>l\,\!</math> на определенное расстояние <math>d\,\!</math>.

После сжатия или растяжения относительно <math>l\,\!</math>

они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние <math>|kd|\,\!</math>

и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>.

<math>f,g\in Aff \then (f\circ g)\in Aff \,\!</math>

Мы здесь использовали значок «<math>\circ\,\!</math>» композиции. Выражение

<math>(f\circ g)\,\!</math> следует понимать как преобразование плоскости,

которое получается после применения преобразования <math>g\,\!</math> и

последующего применения преобразования <math>f\,\!</math>. Значок «<math>\in\,\!</math>» следует

'''Гомотетия''' относительно точки <math>O\,\!</math> с коэффициентом <math>k\,\!</math>

точку <math>M\,\!</math> переводит в точку <math>M'\,\!</math>, которая удалена

от точки <math>O\,\!</math> в <math>k\,\!</math> раз сильнее чем точка <math>M\,\!</math> и лежит на прямой

<math>OM\,\!</math> c той же стороны от точки <math>O\,\!</math>, что и точка <math>M\,\!</math>, если <math>k>0\,\!</math>.

Если <math>k<0\,\!</math>, то <math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по разные стороны от точки <math>O\,\!</math>.

<center><math>\vec{OM'}=k\cdot\vec{OM}.\,\!</math></center>

a) <math>k=1\,\!</math>; б) <math>k=-1\,\!</math>?