Аффинные преобразования: различия между версиями

344 байта добавлено ,  14 лет назад
Нет описания правки
 
 
Обозначим множество движений плоскости как <math>Mot\,\!</math>, а
множество аффинных преобразований как <math>Aff\,\!</math>. Тогда
верно следующее утверждение.
 
{{Рамка}}
Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br>
<center><math>Mot \subset Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
{{Рамка}}
'''Растяжением''' плоскости относительно оси 'l'
с коэффициентом <math>k\ne 0\,\!</math> называется преобразование плоскости,
при котором каждая точка <math>M\,\!</math> переходит в такую точку <math>M'\,\!</math>,
что расстояние от прямой <math>l\,\!</math> до <math>M'\,\!</math> в <math>k\,\!</math> раз больше, чем
до точки <math>M\,\!</math>, и проекция точек <math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> на прямую <math>l\,\!</math>
совпадают. Если коэффициент <math>k\,\!</math> положительный, то точки
<math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>,
если отрицательный &mdash; то по разные.
{{Акмар}}
''Теорема 1''
 
Если преобразование <math>g\,\!</math> обратно преобразованию <math>f\,\!</math>,
а преобразование <math>f\,\!</math> обратно преобразованию <math>g\,\!</math>, то
<math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> взаимно однозначные преобразования.
 
 
<b>Определение 4.</b>
{{Рамка}}
Преобразование <math>g\,\!</math> называется '''обратным''' к преобразованию <math>f\,\!</math>, если
преобразование <math>g\,\!</math>, применённое после преобразования <math>f\,\!</math>, все точки
возвращает на свои места. Если преобразование <math>f\,\!</math> точку <math>A\,\!</math> переводит в точку <math>B\,\!</math>,
то обратное преобразование точку <math>B\,\!</math> переводит в точку <math>A\,\!</math>.
{{Акмар}}
 
Нам осталось показать, что сжатие и растяжение прямые
переводят в прямые. Пусть растяжение осуществляется относительно
прямой <math>l\,\!</math>. Направим вдоль неё ось <math>X\,\!</math>. Рассмотрим любую
прямую <math>m\,\!</math>. Возможны два случая.
 
1) Если она пересекается с <math>l\,\!</math>, то проведем через точку
пересечения ось <math>Y\,\!</math>, перпендикулярную <math>X\,\!</math>. Тогда уравнение прямой
<math>m\,\!</math> будет иметь вид:
 
<center><math>y=a x.\,\!</math></center>
При растяжении относительно прямой <math>l\,\!</math> (оси <math>X\,\!</math>)
с коэффициентом <math>k\,\!</math> точка <math>(x,y)\,\!</math> переходит в точку <math>(x,ky)\,\!</math>:
<center>растяжение относительно оси 'X' : <math>(x,y) \to (x,ky)\,\!</math></center>
 
Точка <math>(x,\;y)=(x,\;ax)\,\!</math> прямой <math>m\,\!</math> перейдёт в точку с
координатами <math>(x',\;y')=(x,\; ky)=(x,\; k a x)\,\!</math>. А значит,
координаты новых точек будут удовлетворять уравнению
<center><math>y'=ka x'\,\!</math></center>
&mdash; это уравнение прямой. Итак образы точек прямой <math>y=a x\,\!</math> лежат
на прямой <math>y=k a x\,\!</math>.
 
2) Если она не пересекается с <math>l\,\!</math>.
 
''Задача 13.1[9]'' Случай, когда <math>m\,\!</math> не пересекается с <math>l\,\!</math>, рассмотрите самостоятельно.
 
Решение.
 
Если <math>m\,\!</math> не пересекается с <math>l\,\!</math>, то
все точки <math>m\,\!</math> удалены от прямой <math>l\,\!</math> на определенное расстояние <math>d\,\!</math>.
После сжатия или растяжения относительно <math>l\,\!</math>
они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние <math>|kd|\,\!</math>
и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>.
А значит, они будут лежать на прямой.
 
 
Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:
<math>f,g\in Aff \then (f\circ g)\in Aff \,\!</math>
 
Мы здесь использовали значок «<math>\circ\,\!</math>» композиции. Выражение
<math>(f\circ g)\,\!</math> следует понимать как преобразование плоскости,
которое получается после применения преобразования <math>g\,\!</math> и
последующего применения преобразования <math>f\,\!</math>. Значок «<math>\in\,\!</math>» следует
читать как «принадлежит», то есть «содержатся внутри как
элемент».
<b>Определение 5.</b>
{{Рамка}}
'''Гомотетия''' относительно точки <math>O\,\!</math> с коэффициентом <math>k\,\!</math>
точку <math>M\,\!</math> переводит в точку <math>M'\,\!</math>, которая удалена
от точки <math>O\,\!</math> в <math>k\,\!</math> раз сильнее чем точка <math>M\,\!</math> и лежит на прямой
<math>OM\,\!</math> c той же стороны от точки <math>O\,\!</math>, что и точка <math>M\,\!</math>, если <math>k>0\,\!</math>.
Если <math>k<0\,\!</math>, то <math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по разные стороны от точки <math>O\,\!</math>.
Другими словами,
<center><math>\vec{OM'}=k\cdot\vec{OM}.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
Что такое гомотетия с коэффициентом
 
a) <math>k=1\,\!</math>; б) <math>k=-1\,\!</math>?
 
Решение
1224

правки