Аффинные преобразования: различия между версиями

Нет описания правки
 
Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:
<math>f,g\in \Aff \then (f\circ g)\in \Aff </math>
 
Что такое гомотетия с коэффициентом
 
a) <math>k=1</math>; б) <math>k=-1$\,\!</math>?
 
Решение
а все оставляет на своих местах);
 
б) поворот на <math>180^\circ\,\!</math> вокруг центра гомотетии.
 
Конец решения
Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом
 
а) <math>k=10\,\!</math>; б) <math>k=-1/2\,\!</math>?
 
Решение
 
Гомотетия с коэффициентом а)<math>k=1/10\,\!</math> б)<math>k=-2\,\!</math>
и тем же центром.
 
''Обозначения 1''
 
Обозначим как <math>H_l^k\,\!</math> растяжение относительно прямой <math>l\,\!</math>
с коэффициентом <math>k\,\!</math> (если <math>|k|<1\,\!</math>, то это сжатие).
И, в то же время, <math>H_O^k\,\!</math> будет обозначать гомотетию относительно
точки <math>O\,\!</math> с коэффициентом <math>k\,\!</math>.
 
Мы уже выяснили, что
<center><math>H_l^k \in \Aff.\,\!</math></center>
 
'Задача 5[8]''
 
Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:
<center><math>H_O^k \in \Aff.\,\!</math></center>
 
''Подсказка'' Это можно сделать, решив следующую задачу.
''задача 6[8]''
 
Докажите, что гомотетию относительно точки <math>O\,\!</math>
можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно
перпендикулярных прямых <math>l_1\,\!</math> и <math>l_2\,\!</math>, пересекающихся в точке <math>O\,\!</math>:
<center><math>H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k\,\!</math>. Точнее </center>
<center><math>\forall k\in \Re \;\left(k\ne 0 \;\Rightarrow\; \forall l_1,l_2\;
\left((l_1\perp l_2,\; l_1 \cap l_2 = O)\;\Rightarrow\; H_O^k=H_{l_1}^k \circ H_{l_2}^k\right)\right).\,\!</math></center>
 
(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа <math>k\ne 0\,\!</math> и двух
перпендикулярных прямых <math>l_1\,\!</math> и <math>l_2\,\!</math>, пересекающихся в точке <math>O\,\!</math>,
верно равенство <math>H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k\,\!</math>».)
 
''Подсказка'' Смотрите рисунок 6.
 
Следует из предыдущей задачи. Отношение расстояний
не меняется, потому множество равноудаленных от <math>O\,\!</math>
переходит в множество равноудаленных от <math>O'\,\!</math> точек.
Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника,
которые равноудалены от третьей.
''Задача 10[10]''
 
Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом <math>k\ne 1\,\!</math>
и параллельного переноса есть снова гомотетия с тем же самым коэффициентом,
но относительно другой точки.
Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют
прямые и свойство различия двух точек:
<center><math>A\ne B, f\in\AffinAff \then f(A)\ne f(B),\,\!</math></center>
<center><math> \mbox{l &mdash; прямая}, f\in\AffinAff \then \mbox{f(l) &mdash; прямая}.\,\!</math></center>
Эти два свойства можно обозначить так:
 
{{Рамка}}
<math>3^\circ\,\!</math> Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование.
 
<math>4^\circ\,\!</math> Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.
 
Эти свойства можно обозначить так:
 
<center><math>3^\circ\quad f,g\in \Aff \then (f\circ g)\in \Aff. \,\!</math><br>
<math>4^\circ\quad f\in \Aff \then f^{-1} \in \Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
Докажите, что при аффинном преобразовании
 
<math>5^\circ\,\!</math> пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,
 
<math>6^\circ\,\!</math> параллельные переходят в параллельные.
 
Эти свойства можно обозначить так:
 
Действительно, прямые переходят в прямые. Предположим, что
две прямые пересекаются. Значит, у них есть общая точка <math>A\,\!</math>.
Если после аффинного преобразования они стали параллельными,
значит у них не стало общей точки. Получается, что образ
точки <math>A\,\!</math> (точка в которую она перешла при преобразовании)
должен лежать как на первой, так и на второй прямой.
Но этого быть не может, так как точка <math>A\,\!</math> имеет только один образ.
Точка не может перейти в две разные точки. Значит,
пересекающиеся прямые не могли перейти в параллельные.
На основе предыдущих свойств, докажите следующие два свойства:
 
<math>7^\circ\,\!</math> параллелограмм переходит в параллелограмм,
 
<math>8^\circ\,\!</math> трапеция переходит в трапецию:
 
[[Изображение:aff3.jpg|center]]
 
{{Рамка}}
Пусть <math>{F'}_1\,\!</math> и <math>{F'}_2\,\!</math> &mdash; образы фигур <math>F_1\,\!</math> и <math>F_2\,\!</math> при некотором аффинном преобразованиии,
тогда отношения их площадей одинаковы, то есть
<center><math>S_{F_1}\,:\,S_{F_2} =S_{{F'}_1}\,:\,S_{{F'}_2} \,\!</math></center>
Это свойство можно записать так:
<center><math>9^\circ \quad f\in \Aff,\;\; {F'}_1=f(F_1),\; {F'}_2=f(F_2)\; \then \; \frac{S_{F_1}}{S_{F_2}} = \frac{S_{{F'}_1}}{S_{{F'}_2}}\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
 
''Подсказка'' На рисунке 8(а) показано два равных
отрезка <math>AB\,\!</math> и <math>CD\,\!</math> на прямой <math>l\,\!</math>. Докажем, что после любого
аффинного преобразования образы этих отрезков будут иметь равную
длину. Для этого сделаем дополнительные построения: параллельно
прямой <math>l\,\!</math> построим еще один отрезок <math>KM\,\!</math>, равный <math>AB\,\!</math> и <math>CD\,\!</math>.
Заметим, что <math>AKMB\,\!</math> и <math>CKMD\,\!</math> параллелограммы, так как две их
противоположные стороны равны и параллельны. После любого
аффинного преобразования они останутся параллелограммами, а
значит, для образов будут верны равенства <math>A'B'=K'M'\,\!</math> и
<math>K'M'=C'D'\,\!</math>.
 
Итак, мы показали, что два равных отрезка на одной прямой после
преобразования останутся равными. Теперь предположим, что их длины
не равны. Например, первый, <math>AB\,\!</math>, имеет длину <math>7\,\!</math>, а второй
<math>CD=5\,\!</math>. Но тогда первый мы сможем разделить на <math>7\,\!</math> единичных
отрезков, а второй на <math>5\,\!</math> единичных отрезков. Все <math>12\,\!</math> отрезков,
как мы только что показали, будут равны друг другу до и после
аффинного преобразования. Значит, отношение длин образов отрезков
$AB\,\!</math> и <math>CD\,\!</math> будет прежним, то есть <math>7\,\!</math> к <math>5\,\!</math>.
 
Заметьте, что любое действительное число можно сколь угодно точно
Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых
при аффинном преобразовании сохраняется:
<center><math>10^\circ\quad f\in\AffinAff,\; AB \parallel CD\; \then \; AB\,:\,BC = A'B'\,:\,C'D'.\,\!</math></center>
 
''Подсказка'' Используйте подсказку к предыдущей задаче.
 
При строгом доказательстве свойств <math>9^\circ\,\!</math> и <math>10^\circ\,\!</math> используется
предельный переход и свойство непрерывности аффинных
преобразований. Про непрерывность и предельные переходы
Основываясь на трех предыдущих задачах, докажите, что с помощью
аффинного преобразования из любого треугольника можно сделать
любой другой. То есть если нам даны два треугольника <math>ABC\,\!</math> и
<math>A'B'C'\,\!</math>, то существует аффинное преобразование, которое переводит
первый треугольник во второй.
 
 
''Подсказка'' Обратите внимание на свойство <math>4^\circ\,\!</math> &mdash; «обратное к аффинному аффинно»,
и если мы смогли сделать из <math>A'B'C'\,\!</math> равносторонний треугольник, то и из равностороннего
можно с помощью аффинного преобразования получить обратно <math>A'B'C'\,\!</math>. Теперь
из <math>ABC\,\!</math> сделаем равносторонний, а из равностороннего &mdash; <math>A'B'C'\,\!</math> и
вспомним про свойство <math>3^\circ\,\!</math>.
 
Заметьте также, что нам важно следить только за положением вершин.
Если вершины <math>ABC\,\!</math> перейдут в вершины <math>A'B'C'\,\!</math>, то стороны совпадут автоматически,
так как аффинные преобразования сохраняют «свойство прямоты».
 
координатах задается уравнением
 
<center><math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad a\ne 0, b\ne 0.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
''Задача 26[10]''
 
Пусть дана прямая <math>l\,\!</math> и точка <math>A\,\!</math> на ней. Преобразование
<math>f\,\!</math> &mdash; произвольное аффинное преобразование.
Докажите, что после аффинного преобразования <math>f\,\!</math> можно
применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге
получится преобразование, которое
точку <math>A\,\!</math> оставляет неподвижной и переводит прямую <math>l\,\!</math> в себя.
\end{task}
 
''Задача 27[10]''
 
Пусть даны две пересекающиеся в точке <math>A\,\!</math> прямые <math>l\,\!</math> и <math>m\,\!</math>.
Докажите, что после произвольного аффинного преобразования <math>f\,\!</math>
можно применить движение и сжатие (или растяжение) относительно
прямой так, что в итоге получится преобразование, которое эти
 
''Подсказка'' Первым делом, совместите биссектрисы углов между прямыми
<math>l\,\!</math>, <math>m\,\!</math> и прямыми <math>l'\,\!</math>, <math>m'\,\!</math>, а также точки их пересечения.
Применяйте сжатие (растяжение) вдоль этих биссектрис.
 
''Задача 28[10]''
 
Пусть даны две перпендикулярные прямые <math>l\,\!</math> и <math>m\,\!</math>, пересекающиеся в точке <math>A\,\!</math>.
Докажите, что после произвольного аффинного
преобразования <math>f\,\!</math> можно применить движение и несколько
сжатий или растяжений относительно прямых
так, что в итоге получится преобразование, которое
'''Парабола''' &mdash; это фигура, которая в подходящих координатах
имеет уравнение
<center><math>y=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
 
Докажите, что множество всех парабол &mdash; это множество всех фигур,
которые можно получить из параболы <math>y=x^2\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
 
'''Гипербола''' &mdash; это фигура, которая в подходящих координатах
имеет уравнение
<center><math>yx=a,\quad a\ne 0, \mbox{ или } \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \quad a\ne 0, b\ne 0.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
 
Докажите, что множество всех гипербол &mdash; это множество все фигур,
которые можно получить из гиперболы <math>yx=1\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
 
''Задача 37[9]''
 
Докажите, что три медианы делят треугольник на <math>6\,\!</math>
равновеликих треугольников.
 
''Задача 38[9]''
 
На сторонах треугольника <math>ABC\,\!</math> поставлены точки, которые делят эти стороны
в отношении <math>1:3\,\!</math>. А именно, на стороне <math>AB\,\!</math> поставлена точка <math>C_1\,\!</math>, на <math>BC\,\!</math> &mdash; точка <math>A_1\,\!</math>,
на <math>CA\,\!</math> &mdash; точка <math>B_1\,\!</math>,
и <math>AC_1=3\cdot C_1B\,\!</math>, <math>BA_1=3\cdot A_1C\,\!</math>, <math>CB_1=3B_1A\,\!</math>.
Площадь треугольника <math>ABC\,\!</math> равна <math>1\,\!</math>. Чему равна площадь треугольника <math>A_1B_1C_1\,\!</math>?
\end{task}
 
''Задача 39[10]''
 
Докажите, что медианы треугольника <math>A_1B_1C_1\,\!</math> из предыдущей задачи
пересекаются в той же точке,
что и медианы треугольника <math>ABC\,\!</math>.
 
''Подсказка'' Превратите треугольник <math>ABC\,\!</math> в правильный и
используйте поворот вокруг центра <math>ABC\,\!</math> на <math>60^\circ\,\!</math>.
 
''Задача 40[10]''
 
Докажите, что медианы треугольника, образованного
прямыми <math>AA_1\,\!</math>, <math>BB_1\,\!</math>, <math>CC_1\,\!</math> из предыдущей задачи,
пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника <math>ABC\,\!</math>.
 
 
''Задача 42[11]''
 
На сторонах <math>AB\,\!</math>, <math>BC\,\!</math>, <math>CD\,\!</math> параллелограмма <math>ABCD\,\!</math> взяты точки
<math>K\,\!</math>, <math>L\,\!</math>, <math>M\,\!</math> соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях.
Пусть <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> &mdash; прямые, проходящие через <math>B\,\!</math>, <math>C\,\!</math>, <math>D\,\!</math>
параллельно прямым <math>KL\,\!</math>, <math>KM\,\!</math>, <math>ML\,\!</math> соответственно.
Докажите, что прямые <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> проходят через одну точку.
1224

правки