Аффинные преобразования: различия между версиями

{{Рамка}}

Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br>

{{Акмар}}

 

1) Если она пересекается с <math>l</math>, то проведем через точку

пересечения ось <math>Y</math>, перпендикулярную <math>X</math>. Тогда уравнение прямой

 

При растяжении относительно прямой <math>l</math> (оси <math>X</math>)

с коэффициентом <math>k</math> точка <math>(x,y)</math> переходит в точку <math>(x,ky)</math>:

 

Точка <math>(x,\;y)=(x,\;ax)</math> прямой <math>m</math> перейдёт в точку с

координатами <math>(x',\;y')=(x,\; ky)=(x,\; k a x)</math>. А значит,

координаты новых точек будут удовлетворять уравнению

&mdash; это уравнение прямой. Итак образы точек прямой <math>y=a x</math> лежат

на прямой <math>y=k a x</math>.

Если <math>k<0</math>, то <math>M</math> и <math>M'</math> лежат по разные стороны от точки <math>O</math>.

Другими словами,

{{Акмар}}

 

 

Мы уже выяснили, что

 

'Задача 5[8]''

 

Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:

 

''Подсказка'' Это можно сделать, решив следующую задачу.

можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно

перпендикулярных прямых <math>l_1</math> и <math>l_2</math>, пересекающихся в точке <math>O</math>:

 

(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа <math>k\ne 0</math> и двух

Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют

прямые и свойство различия двух точек:

Эти два свойства можно обозначить так:

Эти свойства можно обозначить так:

 

{{Акмар}}

 

Пусть <math>{F'}_1</math> и <math>{F'}_2</math> &mdash; образы фигур <math>F_1</math> и <math>F_2</math> при некотором аффинном преобразованиии,

тогда отношения их площадей одинаковы, то есть

Это свойство можно записать так:

{{Акмар}}

 

Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых

при аффинном преобразовании сохраняется:

 

''Подсказка'' Используйте подсказку к предыдущей задаче.

 

предельный переход и свойство непрерывности аффинных

преобразований. Про непрерывность и предельные переходы