Аффинные преобразования: различия между версиями

Нет описания правки
{{Рамка}}
Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br>
<center><math>Mot \subset Aff.</math></center>
{{Акмар}}
 
1) Если она пересекается с <math>l</math>, то проведем через точку
пересечения ось <math>Y</math>, перпендикулярную <math>X</math>. Тогда уравнение прямой
$<math>m</math> будет иметь вид:
 
<center><math>y=a x.</math></center>
При растяжении относительно прямой <math>l</math> (оси <math>X</math>)
с коэффициентом <math>k</math> точка <math>(x,y)</math> переходит в точку <math>(x,ky)</math>:
<mathcenter>\mbox{растяжение относительно оси 'X'} : <math>(x,y) \to (x,ky)</math></center>
 
Точка <math>(x,\;y)=(x,\;ax)</math> прямой <math>m</math> перейдёт в точку с
координатами <math>(x',\;y')=(x,\; ky)=(x,\; k a x)</math>. А значит,
координаты новых точек будут удовлетворять уравнению
<center><math>y'=ka x'</math></center>
&mdash; это уравнение прямой. Итак образы точек прямой <math>y=a x</math> лежат
на прямой <math>y=k a x</math>.
Если <math>k<0</math>, то <math>M</math> и <math>M'</math> лежат по разные стороны от точки <math>O</math>.
Другими словами,
<center><math>\vec{OM'}=k\cdot\vec{OM}.</math></center>
{{Акмар}}
 
 
Мы уже выяснили, что
<center><math>H_l^k \in \Aff.</math></center>
 
'Задача 5[8]''
 
Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:
<center><math>H_O^k \in \Aff.</math></center>
 
''Подсказка'' Это можно сделать, решив следующую задачу.
можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно
перпендикулярных прямых <math>l_1</math> и <math>l_2</math>, пересекающихся в точке <math>O</math>:
<center><math>H_O^k=H_{l_1}^k\circ H_{l_2}^k</math>. Точнее </center>
<center><math>\forall k\in \Re \;\left(k\ne 0 \;\Rightarrow\; \forall l_1,l_2\;
\left((l_1\perp l_2,\; l_1 \cap l_2 = O)\;\Rightarrow\; H_O^k=H_{l_1}^k \circ H_{l_2}^k\right)\right).</math></center>
 
(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа <math>k\ne 0</math> и двух
Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют
прямые и свойство различия двух точек:
<center><math>A\ne B, f\in\Aff \then f(A)\ne f(B),</math></center>
<center><math> \mbox{l &mdash; прямая}, f\in\Aff \then \mbox{f(l) &mdash; прямая}.</math></center>
Эти два свойства можно обозначить так:
Эти свойства можно обозначить так:
 
<center><math>3^\circ\quad f,g\in \Aff \then (f\circ g)\in \Aff. </math><br>
<math>4^\circ\quad f\in \Aff \then f^{-1} \in \Aff.</math></center>
{{Акмар}}
 
Пусть <math>{F'}_1</math> и <math>{F'}_2</math> &mdash; образы фигур <math>F_1</math> и <math>F_2</math> при некотором аффинном преобразованиии,
тогда отношения их площадей одинаковы, то есть
<center><math>S_{F_1}\,:\,S_{F_2} =S_{{F'}_1}\,:\,S_{{F'}_2} </math></center>
Это свойство можно записать так:
<center><math>9^\circ \quad f\in \Aff,\;\; {F'}_1=f(F_1),\; {F'}_2=f(F_2)\; \then \; \frac{S_{F_1}}{S_{F_2}} = \frac{S_{{F'}_1}}{S_{{F'}_2}}</math></center>
{{Акмар}}
 
Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых
при аффинном преобразовании сохраняется:
<center><math>10^\circ\quad f\in\Aff,\; AB \parallel CD\; \then \; AB\,:\,BC = A'B'\,:\,C'D'.</math></center>
 
''Подсказка'' Используйте подсказку к предыдущей задаче.
 
При строгом доказательстве свойств <math>9^\circ</math> и <math>10^\circ</math> используется
предельный переход и свойство непрерывности аффинных
преобразований. Про непрерывность и предельные переходы
1224

правки