Основы алгебры/Дискриминант: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
м Arbnos переименовал страницу Основы алгебры/Дискриминант в Дискриминант поверх перенаправления: Не совсем основы
→‎Свойства: оформление
Строка 5:
 
== Свойства ==
 
−  
* Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
 
* Дискриминант является [[w:симметрический многочлен|симметрическим многочленом]] относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена [[w:целое число|целые]] независимо от [[w:Расширение поля|расширения]], в котором берутся корни.
 
* <math>D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')</math>, где <math>R(p,p')</math> — [[w:результант|результант]] многочлена <math>p(x)</math> и его производной <math>p'(x)</math>.
 
** В частности, дискриминант многочлена
 
::: <math>p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
 
:: равен, с точностью до знака, [[определитель|определителю]] следующей <math>(2n-1)\times(2n-1)</math>-[[w:матрица (математика)|матрицы]]:
 
{| class="standard"
 
|-
 
| width=7%| 1
 
Строка 66 ⟶ 47 :
| width=7%| 0
 
|-
 
Строка 75 ⟶ 54 :
| . || <math>a_0</math> || 0 || . || . || 0
 
|-
 
Строка 84 ⟶ 61 :
| . || . || <math>a_0</math> || 0 || . || 0
 
|-
 
| . || . || . || . || . || .
 
| . || . || . || . || . || .
 
|-
 
| . || . || . || . || . || .
 
| . || . || . || . || . || .
 
|-
 
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1
 
| <math>a_{n-1}</math> || <math>a_{n-2}</math> || . || . || . || <math>a_0</math>
|-
 
|-
 
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
 
| 0 || 0 || . || . || . || 0
 
|-
 
| 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || .
 
| <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || . || 0
 
|-
 
| 0 || 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || .
 
| . || <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || 0
 
|-
 
| . || . || . || . || . || .
 
| . || . || . || . || . || .
 
|-
 
| . || . || . || . || . || .
 
| . || . || . || . || . || .
 
|-
 
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || <math>n</math>
 
| <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math> || 0
 
|-
 
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
 
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
 
|}
 
 
−  
== Примеры ==