Основы алгебры/Дискриминант: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Arbnos (обсуждение | вклад) м Arbnos переименовал страницу Основы алгебры/Дискриминант в Дискриминант поверх перенаправления: Не совсем основы |
Arbnos (обсуждение | вклад) →Свойства: оформление |
||
Строка 5:
== Свойства ==
* Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
* Дискриминант является [[w:симметрический многочлен|симметрическим многочленом]] относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена [[w:целое число|целые]] независимо от [[w:Расширение поля|расширения]], в котором берутся корни.
* <math>D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')</math>, где <math>R(p,p')</math> — [[w:результант|результант]] многочлена <math>p(x)</math> и его производной <math>p'(x)</math>.
** В частности, дискриминант многочлена
::: <math>p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
:: равен, с точностью до знака, [[определитель|определителю]] следующей <math>(2n-1)\times(2n-1)</math>-[[w:матрица (математика)|матрицы]]:
{| class="standard"
|-
| width=7%| 1
Строка 66 ⟶ 47 :
−
| width=7%| 0
|-
Строка 75 ⟶ 54 :
−
| . || <math>a_0</math> || 0 || . || . || 0
|-
Строка 84 ⟶ 61 :
−
| . || . || <math>a_0</math> || 0 || . || 0
|-
| . || . || . || . || . || .
| . || . || . || . || . || .
|-
| . || . || . || . || . || .
| . || . || . || . || . || .
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1
| <math>a_{n-1}</math> || <math>a_{n-2}</math> || . || . || . || <math>a_0</math>
|- ▼
▲|-
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
| 0 || 0 || . || . || . || 0
|-
| 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || .
| <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || . || 0
|-
| 0 || 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || .
| . || <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || 0
|-
| . || . || . || . || . || .
| . || . || . || . || . || .
|-
| . || . || . || . || . || .
| . || . || . || . || . || .
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || <math>n</math>
| <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math> || 0
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
|}
== Примеры ==
|