Основы алгебры/Дискриминант: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Использован префикс w: для ссылок на статьи Википедии. |
Arbnos (обсуждение | вклад) w:Дискриминант - источник, дополнение |
||
Строка 3:
<math>p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n</math>, есть произведение
: <math>D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>, где <math>\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n</math> — все корни (с учётом кратностей) в некотором [[w:Расширение поля|расширении]] основного поля, в котором они существуют.
== Свойства ==
−
−
* Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
−
* Дискриминант является [[симметрический многочлен|симметрическим многочленом]] относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена [[целое число|целые]] независимо от [[Расширение поля|расширения]], в котором берутся корни.
−
* <math>D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')</math>, где <math>R(p,p')</math> — [[результант]] многочлена <math>p(x)</math> и его производной <math>p'(x)</math>.
−
** В частности, дискриминант многочлена
−
::: <math>p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
−
:: равен, с точностью до знака, [[определитель|определителю]] следующей <math>(2n-1)\times(2n-1)</math>-[[матрица (математика)|матрицы]]:
−
{| class="standard"
−
|-
−
| width=7%| 1
−
| width=9%| <math>a_{n-1}</math>
−
| width=9%| <math>a_{n-2}</math>
−
| width=9%| .
−
| width=9%| .
−
| width=7%| .
−
| width=9%| <math>a_0</math>
−
| width=9%| 0
−
| width=9%| .
−
| width=7%| .
−
| width=7%| .
−
| width=7%| 0
−
|-
−
| 0 || 1 || <math>a_{n-1}</math> || <math>a_{n-2}</math> || . || .
−
| . || <math>a_0</math> || 0 || . || . || 0
−
|-
−
| 0 || 0 || 1 || <math>a_{n-1}</math> || <math>a_{n-2}</math> || .
−
| . || . || <math>a_0</math> || 0 || . || 0
−
|-
−
| . || . || . || . || . || .
−
| . || . || . || . || . || .
−
|-
−
| . || . || . || . || . || .
−
| . || . || . || . || . || .
−
|-
−
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1
−
| <math>a_{n-1}</math> || <math>a_{n-2}</math> || . || . || . || <math>a_0</math>
−
|-
−
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
−
| 0 || 0 || . || . || . || 0
−
|-
−
| 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || .
−
| <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || . || 0
−
|-
−
| 0 || 0 || <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || .
−
| . || <math>a_1</math> || 0 || 0 || . || 0
−
|-
−
| . || . || . || . || . || .
−
| . || . || . || . || . || .
−
|-
−
| . || . || . || . || . || .
−
| . || . || . || . || . || .
−
|-
−
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || <math>n</math>
−
| <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math> || 0
−
|-
−
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
−
| <math>n</math> || <math>(n-1)a_{n-1}</math> || <math>(n-2)a_{n-2}</math> || . || . || <math>a_1</math>
−
|}
−
−
== Примеры ==
−
−
* Дискриминант D квадратного трёхчлена <math>ax^2+bx+c</math> равен <math>b^2-4ac</math>. При <math>D > 0</math> корней — два, и они вычисляются по формуле
−
*: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};</math> (1)
−
* при <math>D = 0</math> корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
−
*: <math>x = \frac{-b}{2a};</math>
−
* при <math>D < 0</math> вещественных корней нет. Существуют два [[комплексные числа|комплексных]] корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
−
*: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.</math>
−
* Дискриминант многочлена <math>a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0</math> равен
−
: <math>-4a_1^3a_3 + a_1^2a_2^2 - 4a_0a_2^3 + 18a_0a_1a_2a_3 - 27a_0^2a_3^2. </math>
−
:* В частности, дискриминант многочлена <math>x^3+px+q</math> (корни которого вычисляются по [[формула Кардано|формуле Кардано]]) равен <math>-27q^2-4p^3</math>.
| |||