Иррациональные уравнения: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м Откат правок 178.204.32.28 (обс.) к версии Ivan Shmakov |
Оформление: пробелы, кавычки, тире. |
||
Строка 1:
<small>Исходный текст статьи опубликован в журнале «Потенциал»
==Введение==
Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ
В нём рассматривается два типа иррациональных уравнений: <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> и <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}</math>.
Уравнения типа
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
рассматриваются для того, чтобы ещё раз обратить внимание на то, что ОДЗ этого уравнения находить не надо, а неотрицательность правой части для решений проверять обязательно.
Кроме того, рассматриваются различные способы решения простейшего вида этих уравнений:
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d</math>.
Показывается аналитически и графически, откуда берутся посторонние (
Для уравнений второго типа
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} </math>
показывается, что при их решении нет необходимости решать систему неравенств (ОДЗ)
<math>\left\{\begin{matrix} f(x)\ge{0} & \\ g(x)\ge{0} & \end{matrix}\right.</math>,
а достаточно подставить найденные корни уравнения
<math>f\left( x \right) = g\left( x \right) </math>
в одно из них.
Приведенные маленькие замечания позволяют сократить время на решение таких стандартных задач, а потому дают возможность успешнее справляться с задачами на контрольных и выпускных экзаменах в школе, вступительных в вуз, при решении заданий ЕГЭ любого уровня.
Материал рекомендуется учащимся, начиная с 9 класса.
Строка 27:
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>==
▲При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ:
<math> f\left( x \right) \ge 0, </math>
затем решают получившееся квадратное уравнение,
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right), </math>
но на разных промежутках числовой оси:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> — там, где
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right) </math> — там, где
<math> g\left( x \right) \le 0. </math>
<math> y = g\left( x \right) </math>
с графиком функции
<math> y = - \sqrt {f\left( x \right)} . </math>
Как быть?
Дело в том, что обе части '''любого''' уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение
<math> f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), </math>
при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется '''автоматически,''' поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства
<math> f\left( x \right) \ge 0.</math>
▲Заметим, что уравнение
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение для
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
но не имеет решений, если
<math> g\left( x \right) < 0. </math>
Вспомним, что, если <math>f(x) \ge 0, g(x)\ge 0</math>, то <math>f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).</math>
Так как уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение лишь при условии
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math>
(т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{matrix} \right. (1) </math>
{{Акмар}}
'''Это очень важное условие равносильности.'''
Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
неотрицательности подкоренного выражения, т.
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math> неотрицательности правой части — это условие
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>
При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением '''тригонометрических''' неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия
<math>g\left( x \right) \ge 0 </math>
не всегда просто сделать.
'''Замечание.''' При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
Строка 95 ⟶ 91 :
<math> \sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1. </math>
▲В этом примере особенно хорошо видно, что при решении важным является условие
<math>x + 1 \ge 0, </math>
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти
<math>\sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1 \Leftrightarrow</math>
Строка 115 ⟶ 110 :
<math>= (x - 1)(x + 2)( x - \frac{1}{2}). </math>
Значит, исходное уравнение эквивалентно
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 1 \ge 0 & \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = 0 & \end{matrix} \right. </math>
Строка 121 ⟶ 116 :
откуда <math>x=1</math> или <math>x=1/2</math>.
Любопытно, что
<math> x = - 2 </math>
принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие
<math> x + 1 \ge 0. </math>
Строка 141 ⟶ 136 :
'''Ответ:''' <math>\frac{{41 \pm \sqrt {32} }}{{17}}. </math>
В этом примере
===Пример 3.===
<math> \sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2.</math>
<math>\sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2 \Leftrightarrow </math>
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 5x + 13 = \left( {x + 2} \right)^2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math> x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0 \Leftrightarrow </math>
<math> \left\{ \begin{matrix} x \ge - 2 \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math>\left[ \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3. \\ \end{matrix} \right. </math>
Строка 158 ⟶ 153 :
===Пример 4.(МГУ, 1974, экон. ф-т)===
Найти все действительные решения уравнения
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1}. </math>
Строка 178 ⟶ 173 :
===Пример 5.(МГУ, 1999)===
Решите уравнение
<math>\sqrt {\left| {x^2 + 14x + 47} \right| - 1} = \left| {x + 7} \right| - 1. </math>
Здесь удобно сначала сделать замену переменных. Пусть
<math>t = \left| {x + 7} \right|, </math>
тогда уравнение
<math> \left| {x + 7} \right| - 1 = \sqrt {\left| {\left( {x + 7} \right)^2 - 2} \right| - 1} </math>
примет вид
<math> \sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1. </math>
Решим его.
<math>\sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left| {t^2 - 2} \right| - 1 = t^2 - 2t + 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
Строка 201 ⟶ 196 :
===Пример 6.===
Решите уравнение
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x. </math>
Строка 210 ⟶ 205 :
<math>\left[ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = \left[ \begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{4}\end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math> \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = 1 \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ \cos x = - \frac{3}{4} \end{matrix} \right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math>x = \left[ \begin{matrix} 2\pi k \\ \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right.) + 2\pi k \end{matrix} \right. </math>
'''Ответ:'''
<math> 2\pi k, </math>
<math> \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + 2\pi k,k \in {\rm Z}. </math>
==Уравнения вида <math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>==
▲Рассмотрим подробнее самое простое из уравнений вида
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
— уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \quad (1). </math>
Мы предполагаем, что <math>a \ne 0 .</math> ▼
Его можно решать различными способами. ▼
Приведем три из них.
1. Можно воспользоваться приведенным выше условием равносильности:
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} cx + d \ge 0 \\ ax + b = \left( {cx + d} \right)^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
▲2. Можно сразу решить уравнение
<math> ax + b = \left( {cx + d} \right)^2 </math>
(ОДЗ уравнения выполняется автоматически), а затем сделать проверку: подставить найденные решения в заданное уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
Обязательна ли проверка? Да, надо отсечь решения уравнения
<math> - \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
Рассмотрим решения уравнения на графике.
Начертим эскизы левой и правой частей
[[Изображение:irrat1.jpg]]
'''Рис. 1'''
В данном случае хорошо видно (
<math>y = \sqrt {ax + b} </math>
пересекается лишь с той частью прямой
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает неотрицательные значения, а та
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает отрицательные значения, пересекается
<math>y = - \sqrt {ax + b} ,a > 0,b > 0. </math>
[[Изображение:irrat2.jpg]]
'''Рис. 2'''
Но
▲Но "лишние" корни могут и не появиться (рис.2.) - все зависит от коэффициентов в уравнении, а, значит, от взаимного расположения прямой и полупараболы.
▲3. Уравнение вида
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
можно также решать
<math>t = \sqrt {ax + b}, t \ge 0. </math>
Тогда
<math>ax + b = t^2, </math> откуда
<math> x = \frac{{t^2 - b}}{a} </math>
и уравнение (1) в новых переменных примет вид
<math> t = \frac{{c\left( {t^2 - b} \right)}}{a} + d </math>, что равносильно уравнению <math> ct^2 - at - bc + ad = 0. </math>
Задача свелась к нахождению неотрицательных решений квадратного уравнения
<math> ct^2 - at - bc + ad = 0, </math> что под силу любому школьнику.
===Пример 7. (МФТИ, 2000)===
Найти все значения параметра
a,
при каждом из которых уравнение
<math> \sqrt {x - 8} = - ax + 3a + 2 </math>
имеет единственное решение.
Решим задачу третьим способом. Пусть
<math> \sqrt {x - 8} = t,\; t \ge 0, </math>
тогда
<math> x = t^2 + 8</math>
и исходное уравнение примет вид
<math> at^2 + t + 5a - 2 = 0. </math>
Теперь задача состоит в том, чтобы найти все
<math>a</math>, при которых уравнение
<math>at^2 + t + 5a - 2 = 0 </math>
имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях:
# <math>a = 0,</math> и тогда <math>t = 2.</math>
# <math>a \ne 0, D \equiv 1 - 20a^2 + 8a = 0 \Leftrightarrow </math>
<math> \left[ \begin{matrix} a = - \frac{1}{{10}} \Rightarrow t = 5 \\ a = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow</math>
одно неотрицательное решение при
<math> a = - \frac{1}{{10}}. </math>
3. <math> a\ne 0, D>0 \Leftrightarrow a\in \left( {-\frac{1}{10}}; \frac{1}{2} \right) \Leftrightarrow </math>
<math> t_1 t_2 = \frac{{5a - 2}}{a} \le 0 \Leftrightarrow a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right] \Rightarrow </math>
имеем единственное неотрицательное решение при
<math> a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
Итак, получаем
Строка 324 ⟶ 314 :
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math>==
Пусть задано уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} . </math>
Запишем ОДЗ:
<math> \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) \ge 0 \\ g\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right., </math>
но решать неравенства (за редким исключением) не надо.
В
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) \quad (2)</math>
Строка 342 ⟶ 332 :
для всех x из ОДЗ.
Теперь видно, что для всех решений <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имеют одинаковые знаки, поэтому при таком способе решения нет необходимости проверять неотрицательность обеих функций
Можно записать полное условие равносильности, которое включает в себя ОДЗ уравнения:
Строка 349 ⟶ 339 :
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow </math>
<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ f\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ g\left( x \right) \ge 0 \end{matrix} \right. \quad (3) </math>
{{Акмар}}
Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).
===Пример 8.===
Решите уравнение
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7}. </math>
Видно, что подкоренное выражение в левой части намного проще, чем в правой, поэтому запишем так полное условие равносильности:
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7} \Leftrightarrow </math>
Строка 367 ⟶ 357 :
<math> \left[ \begin{matrix} x^2 = 3 \\ x^2 = 2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \pm \sqrt 3 \\ x = \pm \sqrt 2 . \\ \end{matrix} \right. </math>
'''Ответ:'''
<math> \pm \sqrt 2 , \pm \sqrt 3 .</math>
Строка 392 ⟶ 382 :
==Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А.==
Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.
===Пример 10.===
Какое утверждение
1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или оба корня отрицательны);
2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен;
3) уравнение имеет два корня разных знаков;
4) уравнение имеет только один корень, и он положителен
верно по отношению к корням уравнения
#а)<math> \sqrt {x + 4} = 3\left( {x + 1} \right) </math>;
#б)<math> \sqrt {7 - x} = x + 1</math>;
Строка 408 ⟶ 398 :
#г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x</math> ?
Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей.
Строка 415 ⟶ 404 :
[[Изображение:irrat3.jpg]]
'''Рис. 3'''
На чертеже надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение происходит на отрицательной полуоси
▲На чертеже надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение происходит на отрицательной полуоси - это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее полупараболы, а ось Oy выше полупараболы.
'''Ответ:''' 2).
Строка 426 ⟶ 414 :
[[Изображение:irrat4.jpg]]
'''Рис. 4'''
Это обеспечивается тем, что прямая пересекает отрицательную полуось Ox, а ось Oy
▲Из рисунка (рис. 4) ясно, что пересечение происходит на положительной полуоси.
▲Это обеспечивается тем, что прямая пересекает отрицательную полуось Ox, а ось Oy прямая пересекает ниже полупараболы.
'''Ответ:''' 4).
Строка 438 ⟶ 425 :
[[Изображение:irrat5.jpg]]
'''Рис. 5'''
Это более трудный пример, т. к. не ясно, прямая пересекается с полупараболой (а тогда дважды), касается или вовсе не имеет общих точек с полупараболой. Надо что-то сделать дополнительно, например , подставить такие значения х, при которых корни извлекаются нацело, или поискать точку (x = 5), в которой ясно, что расположено выше — прямая или полупарабола.
'''Ответ:''' 1).
г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x? </math>
Строка 448 ⟶ 435 :
[[Изображение:irrat6.jpg]]
'''Рис. 6'''
Из рисунка ясно, что корней два, и они разных знаков. Это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее, а ось Oy ниже полупараболы.
| |||