Трудные темы курса классической механики/Динамика: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Правка
Правка
Строка 16:
Логически рассуждая следовало бы расставить эти задачи в обратном порядке.Дело в том, что закон движения точки в заданной системе координат, независимо от закона её движения, устанавливается однозначно , хотя и не всегда сразу с удовлетворительной точностью , но путём последовательных приближений с привлечением уточняющих сведений о принимающих участие силах.И потому перспективы благоприятного решения основной задачи динамики выглядят обнадёживающими.
 
Что касается первой задачи, то её решение заведомо неоднозначно, поскольку один и тот же закон движения может быть, как это было показано при рассмотрении вопроса о круговом маятнике, получен с совершенно различными комбинациями действующих сил.\
 
[[File:Pict. Details.jpg|thumb| left|50 px]]
 
 
Рассмотрим некую материальную точку, положение которой в пространстве задаётся некоторым вектором <math>\vec r(t)</math>, исходящий из начала прямоугольной системы координат <math>XOY</math>, составляющий переменный во времени угол <math>\phi(t)</math> с осью <math>OX</math>/Модуль этого вектора остаётся постоянным по величине, а угол меняется во времени с угловой скоростью ,постоянной во времени: <math>\omega=d{\phi(t)}/dt \not= 0 </math>
 
В таком случае закон движения конца вектора будет описан системой уравнений:
 
<math> x(t)= r\cos \omega t</math>
 
<math> y(t)= r\sin \omega t</math>
 
Этого вполне достаточно для того, чтобы указать положение вектора <math>\vec r(t)</math> в любой момент времени. Но недостаточно для того, чтобы описать траекторию движения его конца. С целю получения ответа на этот вопрос, возведём оба
уравнения в квадрат и сложим результаты:
 
<math> (x(t))^2 + (y(t))^2 = r^2 ((cos\omega t)^2 + (sin\omega t)^2)</math>
 
Но сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. И потому получаем окончательно уравнение траектории конца вектора, не содержащее не только времени, но и вообще не имеющее ко времени и другим , связанным с ним характеристикам движения, например, скорости, никакого отношения:
 
<math> (x(t))^2 + (y(t))^2 = r^2 </math>
 
Это - уравнение окружности.
 
 
Теперь рассмотрим материальную точку, которая перемещается по оси <math>OX </math> по гармоническому закону:
 
<math> x(t) = A_x \cos (2\pi t/T) </math> ,где <math> A_x = A \cos \alpha </math> есть амплитуда, а <math>T</math> период колебаний.
 
Пусть теперь вся система, обеспечивающая такое движение материальной точки, совершает колебания в направлении оси <math>OY</math> по такому же закону, но со сдвигом по фазе <math>\phi</math>:
 
<math> y(t) = A_y \cos (2\pi t/T - \phi) </math>,где <math> A_y = A \sin \alpha </math>
 
Используя известное правило о косинусе разности углов, перепишем это выражение в виде
 
<math> y(t) = A_y ( \cos (2\pi t/T) \cos \phi) + \sin (2\pi t/T) \sin \phi)</math>
 
Получив из этих формул выражения для синуса и косинуса переменного во времени угла <math>2\pi t/T</math>, возведя их в квадрат и просуммировав, что даёт единицу, получаем окончательную формулу для траектории движения материальной точки, времени уже не содержащей:
 
<math> x^2/(A_x)^2 - 2xy\cos\phi + y^2/(A_y)^2 =( \sin \phi)^2 </math>
 
Это есть не что иное, как уравнение эллипса с осями, ориентация и величина которых которых на плоскости задаётся углами и <math> \phi</math>
 
Теперь положим, что <math>\alpha =\pi /4 </math>, а также <math>\alpha =\phi </math> Последнее условие говорит о том, что одно из колебаний отстаёт от другого на четверть периода.
 
Тогда получаем ,что форма траектории есть окружность, описываемая формулой:
 
<math> x^2+ y^2 =A^2 /2</math>
 
И имеющая радиус, равный <math> A/(\sqrt{2})</math>
 
Таким образом оказалось, что движение по кругу можно организовать совершенно различными способами. Переходя к кинематической схеме механизмов, обеспечивавших движение материальной точки.В первом случае движение материальной точки обеспечивалось постоянной по модулю центростремительной силой. И её центростремительное ускорение было постоянным во времени. Во втором случае движение точки обеспечивалось двумя силами, меняющими по гармоническому закону переменное для каждой из сил ускорение движущейся точки.
 
Однако конечный результат был одним и тем же. И, если с материальной точкой был бы связан акселерометр, то он в каждом из случаев показывал бы одно и то же постоянное во времени центростремительное ускорение.Иначе говоря, известная траектория не позволяла бы без дополнительной информации получить верное представление о действовавших силах.И потому без получения дополнительной информации первая задача динамики не имеет однозначного решения.
 
Зависимость траектории движения от системы координат, в которой эта траектория представлена, была подробно установлена выше.
Использование сведений из закона движения, в котором учитывается не только траектория, но и также содержатся,возможно, в неявной форме, сведения о зависимости движения от времени, не снимает проблемы неоднозначности, поскольку не обеспечивает единственного правильного выбора из возможных альтернатив.
 
 
 
Здесь срабатывает широко распространяемый в учебной и не только в учебной литературе по физике подход к рассмотрению движения в так называемой "неподвижной" или "лабораторной" системе отсчёта, отождествляемой с самим ведущим рассмотрение вопроса. И это само по себе вполне допустимо, поскольку делает рассмотрение более наглядным.Опасность состоит в том, что в большом числе случаев такая система считается инерциальной. Но всё получаемые при таком подходе решения могли бы стать правильными, если бы загодя были получены надёжные сведения о том, что в данном конкретном случае неинерциальностью "лабораторной" системы можно пренебречь.Вот тогда ко всеобщему удовлетворения можно было бы без затруднений выражать взаимодействие тел силами, а при использовании законов Ньютона стало бы возможным решать как прямую, так и обратную задачи механики.