Трудные темы курса классической механики/Кинематика: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Правка |
Правка |
||
Строка 49:
Так, если в потенциальном поле явления, происходящие в движущихся относительно друг друга систем отсчёта не зависят от скорости их относительного движения, то для соленоидальных полей эта скорость определяет характер протекающих в них физических процессов, связанных с взаимодействием электрических зарядов.
===Траектория===
Траектория является объектом изучения раздела '''механики''' -'''кинематики''', посвящённой рассмотрению геометрии движения тел без учёта их масс и причин, вызывающих это движение, т.е. без учёта действующих на эти тела сил.<ref name="ФЭС">'''Физический энциклопедический словарь'''/ Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред.кол. Д.М.Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич,А.С.Боровик-Романов и др. -М.: Сов.энциклопедия, 1983.-323 с.,ил, 2 л.цв.ил. </ref> Стр.281 )
Понятие о траектории в общем случае неприменимо к описанию движения протяжённых в пространстве тел. Поэтому объектом движения при обращении к этому понятию является материальная точка, имеющая максимум три степени свободы.
Траекто́рия есть непрерывная кривая линия в пространстве, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве. Можно сказать, что траектория представляет собой след, который был оставлен или будет оставлен материальной точкой при своём движении в пространстве
Для конкретного движущегося тела реальна лишь та часть пути, которая уже пройдена, т.е. относится к прошедшему времени. Форма пути, т.е. та часть траектории, которую предстоит преодолеть, может быть предсказана лишь с той или иной степенью вероятности, зависящей от не всегда учтённых факторов.
Если речь идёт о движении материальной точки в пространстве , то её положение в данный момент времени не может быть описано иначе, как по отношению к заданной системе координат в трёхмерном пространстве, а её перемещение - как изменение этих координат во времени.Так, например, векторное уравнение <math>\vec r =\vec r(t) </math> представляет собой закон движения геометрической точки в его векторном описании.
Исключив из этого уравнения время <math> t </math> можно получить '''годограф''' точки или её траекторию.(<ref name="ФЭС"></ref> Стр. 282)
Существенно, что понятие о траектории имеет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения.Так улица, в начале которой висит знак «кирпич» ''останется'' в принципе траекторией возможного движения по ней.
Тропинка в лесу, или же строчки книги говорят о пути,проходимого пешеходом или о скольжении равнодушного взгляда читателя.
Таким образом траектория представляет собой пространственную фигуру , образованную следом прошлого или будущего движения, форма которой есть, так сказать, "вещь в себе" в том смысле, что эта форма не зависит от ракурса, под которым она рассматривается.Так форма монеты,представляющей собой диск остаётся диском даже если смотреть на неё с ребра.
Так, например, инверсионный след, оставленный самолётом или же трек , оставляемый частицей в '''камере Вильсона''', несёт в себе однозначную информацию об совершённых ими эволюциях.
Особенно наглядны в этом смысле снимки следов атомных частиц, полученные в толстослойных фотоэмульсиях. Такие снимки можно рассматривать под разным углами, но форма трека частицы по отношению "самой к себе" остаётся, понятно, неизменной.
Вот муха летает по непредсказуемому пути. Но потому и считается, что её полёт не является детерминированным.В случае же детерминированного движения можно говорить о существовании в едином трёхмерном пространстве единственной траектории перемещения в нём тела .Для происшедшего движения в прошлом о форме траектории можно говорить со 100% вероятностью, а о движении происходящем или предстоящем - с той вероятностью, с которой мы можем предсказать эффект от обуславливающих движение факторов. Примерно в этом смысле говорят о ''собственном движении'' тела, являющегося объектом наблюдения.
В ряде случаев оказывается возможным представить траекторию в виде материального объекта –канализационной трубы, туманного трека частицы в камере Вильсона или же рельсового пути.Особенностью всех этих вариантов пространственной фиксации ( можно сказать - материализации) траектории является то обстоятельство, что здесь целью является не описание действительно происходящего движения, но лишь указание на его принципиальную возможность.
Сантехник, изгибая применительно к конфигурации помещения канализационную трубу, однозначно определяет траекторию , которой в будущем будут следовать частицы воды.Также и кишечник нашего читателя предопределяет будущее движение внутри тела съеденного бутерброда.И это движение будет происходить по одной и той же траектории, независимо от того , стоит ли человек, бодрствуя или же спит лёжа.
[[File:pict. Details.jpg|thumb| left |50 px|]]
Здесь самое время вспомнить об экспериментах, проделанных ещё в гимназические годы '''Обертом''', который ел яблоко, вися вниз головой. Успех этого нехитрого опыта показал, что траектория частиц съеденного яблока не зависела от ориентации тела в пространстве и в немалой степени во многом укрепил его в мысли о принципиальной возможности для организма человека преодолеть связанные с физиологией проблемы, которые могли бы сделать космический полёт невозможным.
<ref name="Раушенбах">''Раушенбах Б. В.'' Предисловие // '''Герман ОБЕРТ.''' — М.: Наука, 1993. — 189 с. — (Научно-биографическая серия). — 400 экз. — ISBN 5-02-006992-2</ref>,
<ref name="Tresp, Rohrwild">''Harald Tresp, Karlheinz Rohrwild''. — '''Am Anfang war die Idee…''' Hermann Oberth — Vater der Raumfahrt: Herman E. Sieger GmbH, Lorh/Württemberg. 1994 (нем.)</ref>,
<ref name="Hermann Oberth".>''Hermann Oberth.'' '''Mein Beitrag zur Weltraumfahrt''': — Hermann — Oberth — Raumfahrt — Museum, Druck Center Meckencheim. Nürnberg/Feucht. 1994. ISBN 3-925103-71-6 </ref>
Общим для всех этих примеров является то, что любые объекты, входящие в состав Вселенной существуют , движутся и взаимодействуют совершенно независимо от того , введена ли та или другая , или вообще не введена никакая система отсчёта.
Траектория является пространственной фигурой, форма которой не зависит от наблюдателя. Эта форма связана с пространственной конфигурацией действующих на материальную точку конкретных сил и именно эта конфигурация однозначно определяет ту систему координат, в которой и наблюдается "истинная" траектория.
Но кинематика не занимается анализом причин возникновения того, или иного вида движения. Здесь наблюдатель всегда, подчас несознательно, производит отображение "истинной" траектории в некоторую, избранную им по своим соображениям координатную систему и получает кажущееся, нередко искажённое представление о форме траектории. В этом случае приходится иметь дело с ''кажущейся'' траекторией.
С материалистической точки зрения все материальные объекты существуют и движутся в едином и единственном трёхмерном пространстве. Существование других пространств, в которых существовали бы реальные материальные объекты, современной наукой, по крайней мере классической физикой, отрицается.
И для каждого момента времени их расстояние друг от друга имеет совершенно определённое значение, независимо от выбора систем координат, в которых измеряются эти расстояния.Даже самые далёкие,но ещё доступные наблюдению объекты занимают совершенно определённое положение в этом пространстве и разница состоит лишь в том,что ввиду конечной скорости прихода сигнала от них, их сегодняшнее положение соответствует такому, в которых они находились миллионы лет тому назад.
Кстати, последнее уточнение говорит и о том, что идея об общем времени, едином для всех объектов Вселенной не оставлена и в наше время. Иначе вряд ли можно было бы говорить о возрасте Вселенной в целом и называть, пусть приближённо, время Большого взрыва, за которым последовало и рождение Вселенной и начался общий для неё отсчёт времени.
Но, хотя для каждого момента времени взаимное расположение объектов может оказаться другим, новая их пространственная конфигурация в связи со сменой координатной системы также устанавливается однозначно.При этом привлекается математический аппарат тензорного исчисления. Поэтому и при смене системы координат однозначно и их взаимное движение.Откуда следует утверждение о существовании единственной, соответствующей этому движению траектории в этом единственном реально существующем трёхмерном пространстве.
[[File:Andromeda galaxy.jpg|thumb|200 px|lerft| Изображение туманности Андромеды в УФ лучах]]
Так, например, изображение удалённой галактики в виде эллипса, могло бы способствовать возникновению заключения, что составляющие её звёзды движутся по эллиптическим траекториям. Хотя на основании иных и достаточно обоснованных положений, астроном склонен считать, что это связано , скорее всего, с проективными искажениями движения по кругу.То есть дело, в том, что мы видим этот небесный объект «с ребра».
Конец стрелки часов всегда бежит по кругу, и не потому, что мы это видим. Ведь на циферблат можно посмотреть и под углом. Стрелка бежит так потому, что приводящий её в движение механизм не может придать ей иного движения.
<!--
[[File:pict. Details.jpg|thumb| left |50 px|]]
Рассмотрим некоторый вектор <math>\vec r(t)</math>, исходящий из начала прямоугольной системы координат <math>XOY</math>, составляющий переменный во времени угол <math>\phi(t)</math> с осью <math>OX</math>/Модуль этого вектора остаётся постоянным по величине, а угол меняется во времени с угловой скоростью ,постоянной во времени: <math>\omega=d{\phi(t)}/dt \not= 0 </math>
В таком случае закон движения конца вектора будет описан системой уравнений:
<math> x(t)= r\cos \omega t</math>
<math> y(t)= r\sin \omega t</math>
Этого вполне достаточно для того, чтобы указать положение вектора <math>\vec r(t)</math> в любой момент времени. Но недостаточно для того, чтобы описать траекторию движения его конца. С целю получения ответа на этот вопрос, возведём оба
уравнения в квадрат и сложим результаты:
<math> (x(t))^2 + (y(t))^2 = r^2 ((cos\omega t)^2 + (sin\omega t)^2)</math>
Но сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. И потому получаем окончательно уравнение траектории конца вектора, не содержащее не только времени, но и вообще не имеющее ко времени и другим , связанным с ним характеристикам движения, например, скорости, никакого отношения:
<math> (x(t))^2 + (y(t))^2 = r^2 </math>
Это - уравнение окружности.
Теперь рассмотрим материальную точку, которая перемещается по оси <math>OX </math> по гармоническому закону:
<math> x(t) = A_x \cos (2\pi t/T) </math> ,где <math> A_x = A \cos \alpha </math> есть амплитуда, а <math>T</math> период колебаний.
Пусть теперь вся система, обеспечивающая такое движение материальной точки, совершает колебания в направлении оси <math>OY</math> по такому же закону, но со сдвигом по фазе <math>\phi</math>:
<math> y(t) = A_y \cos (2\pi t/T - \phi) </math>,где <math> A_y = A \sin \alpha </math>
Используя известное правило о косинусе разности углов, перепишем это выражение в виде
<math> y(t) = A_y ( \cos (2\pi t/T) \cos \phi) + \sin (2\pi t/T) \sin \phi)</math>
Получив из этих формул выражения для синуса и косинуса переменного во времени угла <math>2\pi t/T</math>, возведя их в квадрат и просуммировав, что даёт единицу, получаем окончательную формулу для траектории движения материальной точки, времени уже не содержащей:
<math> x^2/(A_x)^2 - 2xy\cos\phi + y^2/(A_y)^2 =( \sin \phi)^2 </math>
Это есть не что иное, как уравнение эллипса с осями, ориентация и величина которых которых на плоскости задаётся углами и <math> \phi</math>
Теперь положим, что <math>\alpha =\pi /4 </math>, а также <math>\alpha =\phi </math> Последнее условие говорит о том, что одно из колебаний отстаёт от другого на четверть периода.
Тогда получаем ,что форма траектории есть окружность, описываемая формулой:
<math> x^2+ y^2 =A^2 /2</math>
И имеющая радиус, равный <math> A/(\sqrt{2})</math>
Таким образом оказалось, что движение по кругу можно организовать совершенно различными способами.
Это даёт основание считать, что должен существовать способ описания движения, независимый от системы координат. Для уже совершившегося движения речь идёт об описании следа, оставленного материальной точкой.
-->
====Способы описания траектории====
Если считать форму траектории уже известной, то положение точки может быть задано на ней её расстоянием от некоторого начального положения на её траектории.В этом случае имеют дело с '''естественным''' или '''траекторным''' описанием движения, что может быть представлено графиком на плоскости , где в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат - расстояние, проходимое точкой в направлении, принятом за положительное, и в этом случае являющееся единственной координатой, описывающей положение точки.(<ref name="ФЭС"></ref>Стр. 282)
В общем виде траектория представляет собой ''' пространственную кривую''', свойства которой в каждой точке (за исключением особых точек) на основании положений '''дифференциальной геометрии кривых''' описываются '''сопровождающим трёхгранником''' , образованным взаимно перпендикулярными '''единичными векторами'''. А именно '''вектором касательной'''<math>\vec t</math>, '''вектором главной нормали''' <math>\vec n </math> и '''вектором бинормали '''<math>\vec b </math> , перпендикулярным так называемой '''соприкасающейся плоскости''', в которой лежат векторы касательной и нормали.
Таким образом при своём перемещении по кривой сопровождающий трёхгранник осуществляет '''поворот''' вокруг бинормали и '''кручение''' в '''нормальной плоскости''', проходящей через нормаль и бинормаль.<ref name="БС"></ref>
И поворот и кручение оцениваются в угловой мере и их производные во времени определяют угловые скорости сложного вращения, результирующая угловая скорость которого представляет собой векторную их сумму.
Траекторию в общем случае можно представить и в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящих каждая из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и [[прямая]] может рассматриваться как дуга, радиус которой равен [[бесконечность|бесконечности]]
Для моделирования кривых линий с 1962 года используются '''кривые Безье''', описываемые полиномами, степень которых на единицу меньше числа ''опорных точек''.Так, для изображение сегмента любой кривой на плоскости оказывается достаточным указать четыре точки.Этот приём широко используется в инженерной графике, в частности для изображения сложных поверхностей, например, автомобильных кузовов.
Проблема отображения трёхмерных объектов, в том числе и понимаемой в указанном смысле траектории, которую тело имеет «на самом деле», то есть независимо от выбора системы координат, решается в настоящее время, пусть со многими ограничениями, методами голографии.
Принципиальное значение изобретения и технической реализации технологии создания голографического изображения пространственных объектов состоит в том, что таким образом обеспечена возможность хранения их изображений о многих вариантов их ракурса. То есть без привязки к конкретной системе координат.И это может быть применено и к материализованной указанным выше способом траектории.
В таком случае это позволяет говорить о собственном движении материальных тел, как объективной реальности, не связанной с какой-либо системой пространственных координат. И при том не только в тех условиях, в которых возможно создание голографических изображений, но и вообще в любом другом случае.
То есть речь идёт о придании расширенного смысла этому понятию, которое применяется в астрономии, когда говорят о собственном движении некоторых, ближайших звёзд, обнаруживаемом после исключения годового (параллактического) изменения их координат вследствие движения наблюдателя вместе с Землёй по её орбите.
====Человеческий фактор====
Проблема ориентации в пространстве и анализа любого в нём перемещения окружающих объектов , то есть проблема адекватной оценки их траектории, является одной из важнейших и жизненно важных проблем, стоящих перед любым представителем животного мира.Но для каждого из них, за исключением некоторой части человеческого сообщества, она решается интуитивно, на основании как врождённых, так и приобретённых инстинктов и рефлексов (условных и безусловных).
Однако, для прогресса человеческого общества оказалось необходимым получение, хранение и использование информации о траектории движения окружающих материальных объектов.
Так, возникла необходимость чётко различать объекты, которые, пусть только на данном отрезке времени, можно считать неподвижными по отношению к другим объектам, движение которых и представляет интерес. Поэтому совершенно естественным образом возникло представление о системе координат, по отношению к которой и происходит движение.
Согласно легенде идея описывать восприятия, получаемые нашими органами чувств ''числом'', пришла в голову '''Пифагору''', обратившего внимание на различие в высоте звуков, издаваемых молотом кузнеца, кующего металлические прутки разной длины. И созданная ещё в античные времена геометрия Евклида обеспечила возможность количественного описания в числах положения тел в пространстве. Воплощением этой идеи стала наиболее популярная в наше время и интуитивно воспринимаемая как естественная прямоугольная система координат Декарта.
Физиологические особенности восприятия информации о внешнем мире , в особенности за счёт зрения (по оценкам обеспечивающего около 80% жизненно необходимой информации) сильно сказались на представлениях об окружающем пространстве.
Зрительный аппарат, в основе работы которого лежит отражение трёхмерного мира на поверхности сетчатки глаза , гораздо лучше справляется с оценкой расстояний между предметами в направлении, перпендикулярном направлению взгляда, чем в оценке различия в расстоянии до них.
Оценка же удалённости производится совершено другим физиологическим механизмом (в физиологии зрения это связано с ''проблемой диспаратности'' положения изображения на сетчатке левого и правого глаза), точность работы которого существенно уменьшается по мере увеличения дистанции.Поэтому человек склонен отображать предметы на картиной плоскости, т.е вместо оперирования изображением реального мира иметь дело с его проекцией на двумерную плоскость.К тому же изображение , например на листе бумаги, технически гораздо проще, чем трёхмерной модели наблюдаемого.
В некоторой степени, при наличии пространственного воображения, можно создать иллюзию трёхмерного (сейчас говорят 3D) пространства, используя при этом принципы начертательной геометрии (''аксонометрия''). Но всё равно при этом сохраняется главный недостаток такого описания пространственных объектов, не исключая траекторий, а именно зависимость их формы от выбора системы координат.
Традиционным приёмом, с помощью которого решается вопрос о зависимости траектории от выбора системы координат, является следующий. Вначале постулируется существование некоего наблюдателя, производящего оценку ситуации. Таким наблюдателем в большом числе случаев является сам, занимающийся решением задачи, субъект. Он считает себя неподвижным и связывает с собой свою собственную систему координат. Происходящее в ней движение объекта наблюдения он считает ''абсолютным''.При этом он допускает, что наблюдаемый объект находится в другой, подвижной по отношению к наблюдателю системе координат, по отношению к которой и происходит ''собственное'' движение объекта.Для наблюдателя же оно является ''относительным''.Наконец, само движение этой подвижной системы координат относительно своей (абсолютной), наблюдатель называет ''переносным.''
В соответствие с этим собственное движение любой точки на периферии катящегося колеса в виде вращения вокруг его оси в системе, связанной с этой осью для неподвижного наблюдателя является относительным. Перемещение оси в пространстве - переносным, а наблюдаемая траектория точки в форме циклоиды -движением абсолютным. Эдравый смысл говорит, что абсолютным было бы логичнее в данном случае назвать собственное вращение. Но такова традиция, соблюдение которой обеспечивает единообразие описания происходящих явлений. С такой нелогичностью в определениях ещё не раз придётся повстречаться.
И свет, считается что распространяется прямолинейно (известно, что существуют миражи и гравитационные линзы) но это не мешает считать свет распространяющимся прямолинейно и использовать луч лазера для контроля вертикальности московской телебашни , для пространственного монтажа металлоконструкций или проведения прямых линий при малярных работах.
С проблемой прямолинейности столкнулся ещё первобытный охотник, для которого решение этой проблемы при стрельбе из любого оружия, будь то лук или духовая трубка был вопросом его существования. С тех пор эта проблема продолжала существовать на протяжении всей истории человечества.Радикальным шагом, позволившим существенно продвинуться в обеспечении точности прицеливания и поражения цели стало применение гироскопического эффекта при переходе к нарезному огнестрельному оружию.
Это -примерно середина XIX (Крымская война). Дальше последовало применение волчка в приборе Обри, обеспечившим прямолинейное движение торпед. А затем и применение гироскопов, основанных на использовании различных эффектов, позволяющих регистрировать ускорения, связанные с отклонением движения снабжённых ими объектов от прямолинейности и равномерности.
Но истинно и то, что в любом случае количественно описать любую кривую можно только в том случае, если априори задаться определённой системой координат . И в этом случае траектория получает конкретное описание языком математики, но с другой сторон теряет свою уникальность потому, что траектория зависит не только от собственного движения тела, но и от пространственной ориентации системы координат и её движения относительно наблюдаемого тела.
[[Файл:Sterneamwalberla2.jpg|thumb|left|Рис.3 Суточное движение светил в системе отсчёта, связанной с фотоаппаратом в проекции на плоскость рисунка]]
По этой же причине можно дать лишь словесную характеристику собственному движению. При попытке дать ему координатное описание снова возникли бы проблемы, связанные с однозначностью описания ориентации и движения.
[[File:|thumb| left| 100 px|]]
Как будет показано ниже, возможны ситуации, когда выбором системы координат можно трансформировать прямолинейное собственное движение в криволинейное. И наоборот -криволинейное в прямолинейное. Более того -равномерное движение в ускоренное и ускоренное - в равномерное.
Поскольку, вид траектории определяет возможность применения законов механики, произвол, связанный с выбором системы координат ,(зачастую имеющий свое целью лишь увеличения удобства рассмотрения) , сказывается на результатах применения закона. Что приводит к неверному результату..
Убедительный пример этого представляет собой фотоснимок на Рис.3 Здесь изображена полярная область ночного неба, снятая с большой экспозицией. Видно, что все звёзды достаточно большой звёздной величины обращаются, имея поблизости от центра вращения Полярную звезду.Следуя законам механики это можно было бы объяснить наличием центростремительной силы, исходящей из района Полярной звезды.Что неверно в корне.В мировом пространстве не наблюдается вообще явно изображённого на снимке вращения, да ещё с такой невероятно большой угловой скоростью.И эта ошибка вызвана тем, что для регистрации картины звёздного неба выбрана вращающаяся вместе с Землёй фотокамера,являющаяся в данной ситуации координатной системой отсчёта.
===Поступательное движение===
| |||