Трудные темы курса классической механики/Кинематика: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Новая тема |
Правка |
||
Строка 1:
===Поступательное движение===▼
===Некоторые виды пространственных координат===
Наиболее употребительными являются ''декартовы прямоугольные'' системы координат и ''сферические'' системы координат.
В случае, когда геометрическими размерами материального тела пренебречь по условиям задачи нельзя, его рассматривают как совокупность материальных точек.Что имеет смысл, например, в небесной механике по отношению к Солнечной системе, где в ряде случаев не только планеты, но и само Солнце рассматриваются как материальные точки.▼
Полезным приёмом является и модель абсолютно твёрдого тела, в котором взаимное расположение его частей остаётся неизменным даже в случае внешнего на него воздействия (т.е. недеформируемости тела).В таком случае рассматривается движение некоторой его характерной точки, что позволяет говорить о траектории тела. Во многих случаях за такую точку принимается центр масс тела.▼
'''''Сферическая полярная система координат'''''Также имеет своей основой декартову систему, но в качестве координат выступают: ''длина радиуса-вектора'' <math> r </math> , ''долгота'' <math> \phi</math> и ''полярное расстояние ''<math> \vartheta</math>. При этом долгота измеряется углом поворота проекции радиуса-вектора на плоскость '''XOY''' в положительном направлении, а полярное расстояние - угол поворота самого радиуса-вектора от оси '''OZ.'''
'''''Декартовы системы координат''''' образованы тремя взаимно пересекающимися в одной точке , называемой ''началом координат'' ''координатными осями''.
В зависимости от взаимного расположения выбранных за положительное направление, различают ''правую'' и ''левую'' систему декартовых координат. По умолчанию принята ''правая'' система координат, ассоциируемая с ''правой резьбой'' или ''правилом буравчика''. А именно положительным направлением оси '''Z''' считается такое, по которому движется буравчик, если он совершает поворот от оси '''X''' по направлению к оси '''Y'''.Это направление вращения считается положительным.В таком случае положение точки задаётся тремя числами, соответствующим проекциям точки (или конца радиуса-вектора) на соответствующие оси.
Иногда положение точки в этой системе координат задают радиусом-вектором, имеющим началом (полюсом) начало системы координат, а конец - в данной точке.
Декартова система основана на привычных в повседневной жизни движениях: вперёд-назад, вверх-вниз и вправо-влево и потому настолько популярна, что любое движение по умолчанию считается происходящим именно в этой системе.
Если на движение такого материального тела не наложено никаких ограничений, то оно имеет шесть степеней свободы. А именно -три степени свободы его центра масс и три эйлеровых угла. Их находят, совместив с телом координатную систему '''XYZ''', которая в новом положении обозначается , как '''X’ Y’ Z’'''
А именно: '''Угол нутации''' (выше полярное расстояние <math> \vartheta</math>, '''угол прецессии''' <math> \psi</math> определяемый как угол между осью '''OX''' и следом пересечения '''OA''' плоскостей '''XOY'''и '''X’ O Y’'''так, что прямые OA, OZ, OZ’ образуют тройку правой ориентации и, наконец, '''угол чистого вращения''' (правильнее было бы говорить угол чистого поворота, но это не принято ) <math> \phi</math>.В соответствие с теоремой вращения Эйлера любой поворот тела имеет ось вращения OZ’.
Строка 10 ⟶ 18 :
Значительно реже в качестве такого элементарного физического тела рассматривается '''галтель'',представляющая собой тело , имеющее длину, но высоту и ширину настолько малые, что этими размерами можно пренебречь. В качестве таких тел рассматриваются, например, диполи, представляющие собой поляризованные молекулы. Такие тела считаются не имеющими чистого вращения и потому обладающими пятью степенями свободы.
[[File:Cartesius coordinates.jpg|thumb|200 px|Рис А.Декартовы системы координат]].
На Рис А изображены две декартовы системы координат, позволяющие не только описать движение материальной точки в заданной системе координат, но и выявить зависимость этого движения от выбора системы координат.По установившейся традиции система координат <math> XOY</math> считается неподвижной главным образом потому, что тот, от чьего лица ведётся рассмотрение,считает, что эта система неподвижна относительно него самого и потому является "абсолютной". Но, кроме эгоцентрических предпочтений, существует гораздо боле серьёзная причина считать исходную систему неподвижной, поскольку такая система явно, а во многих случаях и по умолчанию, считается инерциальной системой.Такая позиция представляет собой индульгенцию против обвинения в том, что в рассмотрении вопроса не учтены силы инерции.
Чрезвычайно распространено изображение проекции точки на плоскость чертежа, за которую общепринято брать плоскость '''XOY''', что значительно повышает наглядность решаемой задачи в этом случае имеют дело с '''декартовыми системами координат на плоскости''' и '''полярными системами координат'''.<ref name="БС">Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Издательство «Наука» Редакция справочной физико-математической литературы.1964.</ref>
::При этом следует учитывать и всегда помнить , что такое упрощение в ряде задач сопровождается полной потерей информации о явлениях, принципиально происходящих в трёхмерном пространстве, в том числе описание которых зависит от выбора правой или левой системы координат.
Время считается единым во всех точках пространства, независимо от расстояния между ними.
Многие задачи механики могут быть рассмотрены в двумерном варианте, достоинством которого является наглядность.
Но есть и более глубокие причины особой приверженности авторов к двумерным способам иллюстрации своих сочинений. Исторически ещё Птоломей, пытаясь объяснить специфику движения небесных тел, особенно ''внешних''планет, например Марса, совершающего "попятное " движение на небесно сфере, был вынужден использовать геоцентрическую систему координат. Основой этой системы были эпициклы -круговые движения планет вокруг лежащих вне их центров вращения.Характерно, что в представлениях Птоломея все эти движения совершались в одной плоскости. Что впоследствии подтвердилось тем , что в действительности планеты Солнечной системы обращаются вокруг центрального светила -Солнца, по эллиптическим орбитам, лежащим в одной плоскости. А то обстоятельство, что эти орбиты лежат в плоскости эклиптики, стало одним из наиболее веских подтверждений единства в истории образования всех членов Солнечной системы.
Не раньше двух веков тому назад было показано, что движение планет в одной плоскости обусловлено законами природы и являются следствием специфических свойств силы Всемирного тяготения.Долгое время эта сила либо непосредственно, либо в своих проявлениях была внешней силой, с которой преимущественно сталкивался человек в различных жизненных ситуациях.По своему характеру сила тяготения является силой ''потенциальной'', действие которой может быть исчерпывающим образом проиллюстрировано в плоскости, проходящей через тяготеющие друг к другу тела в виде материальных точек.
Более того, и ''контактные'' силы, имеющие своё происхождение в явлении взаимодействия неподвижных электрических эарядов, также являются силами потенциальными и потому их проявления могут быть проиллюстрированы чертежами на плоскости.
Положение радикально изменилось в XIX веке, когда были сформулированы законы электродинамики и широко стало использоваться представление об электро-магнитном поле, описать которое стало возможным лишь при использовании представления о трёхмерном пространстве.Такое поле радикально отличается по свойствам от поля потенциального, поскольку является ''полем соленоидальным.''
Так, если в потенциальном поле явления, происходящие в движущихся относительно друг друга систем отсчёта не зависят от скорости их относительного движения, то для соленоидальных полей эта скорость определяет характер протекающих в них физических процессов, связанных с взаимодействием электрических зарядов.
▲===Поступательное движение===
Однако в любом случае случае движение материальной точки <math> m </math> в пространстве может быть описано изменением во времени радиуса-вектора <math> \vec r(t)</math>. Иногда такое движение называют ''абсолютным'' несмотря на то, что нештрихованная система не только может быть находящейся в движении, но и в движении с ускорением, т.е. быть в принципе системой неинерциальной. Так Ньютон, созерцающий падение яблок с дерева, считает себя находящимся в своей неподвижной "лабораторной" системе отсчёта, хотя ему не может не быть известно, что Земля мало того, что вращается вокруг своей оси, но
и совершает ежегодно обход вокруг Солнца, т.е. испытывает ускорение по крайней мере по двум причинам, не говоря о неравномерности скорости движения по свой эллиптической орбите.
Дополнительно вводится другая система отсчёта "штрихованная"
<math> X^\prime O^\prime Y^\prime </math>, движение начала которой задаётся вектором <math> \vec R (t)</math>.Изменение этого вектора со временем будет называться ''переносным'' движением
Положение материальной точки в штрихованной системе будет определяться вектором <math> \vec( r^\prime(t)) </math>. Изменение его во времени относительно штрихованной системы будет называться ''относительным'' движением.
Взаимосвязь между абсолютным и относительным движением задаётся векторным уравнением:
<math> \vec r(t)</math> = <math>\vec R (t)</math> + <math> \vec( r^\prime(t)) </math>
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что приведённый на Рис. А чертёж, неоднократно растиражированный в учебной литературе, не позволяет исчерпывающим образом рассмотреть ситуацию движения материальной точки в двух рассматриваемых системах отсчёта. Этот рисунок представляет собой ситуацию, которая характерна для читателя или юзера, отождествляющего себя неподвижной по отношению к нему "абсолютной" нештрихованной системой.Изображённые на рисунке векторы <math>\vec R (t)</math> и <math> \vec( r^\prime(t)</math> изображены для него и полностью описывают движение материальной точки в его системе.Такому наблюдателю абсолютно неинтересно знать, какое положение относительно осей неподвижной системы координат занимают оси системы штрихованной. То есть его не касается возможное изменение во времени трёх эйлеровых углов.
В то же время для наблюдателя, находящегося или же отождествляющего себя со штрихованной системой, эта информация столь же важна, как и величина вектора <math> \vec( r^\prime(t)) </math>. И в то же время для описания ''положения'' материальной точки в его системе знание величины вектора <math>\vec R (t)</math> интереса не представляет.Поскольку координаты точки в заданной системе координат не зависят от её координат в любой другой координатной системе,в том числе и в принятой за "абсолютную".
Таким образом на рисунке А изображён частный случай относительного движения двух декартовых систем с постоянной во времени пространственной ориентацией осей, то есть случай движения поступательного.Уникальной особенностью такого вида движения является то, что любая точка, неподвижно связанная с этой системой, при любом движении начала отсчёта движется с точностью до сдвига в пространстве по одной и той же траектории с общими для всех точек величинами мгновенного вектора скорости и её производных.
Именно это существенно упрощающее рассмотрение предположение, что переносное ускорение тела в данном случае равно ускорению штрихованной системы и остаётся одинаковым для любого местоположения тела в любой точке этой системы, делает поступательное движение весьма удобным для рассмотрения задач механики.
Иными словами, если возникает необходимость материализовать в виде реального физического объекта тело отсчёта с общей для любой его точки величиной ускорения, то это можно сделать исключительно в случае поступательного движения такого тела.
Физические тела, совершающие иные движения телами отсчёта в этом смысле не являются, поскольку составляющие их материальные точки совершают в общем случае различные траектории .
В связи с этим чревато ошибками использование термина "вращающяяся система отсчёта", являющаяся частным случаем испытывающей поворот координатной системы. Поскольку в общем случае здесь может идти речь о системе, переносное ускорение в которой различно в разных её точках.
Человек всегда волен связать с любым движущимся телом систему координат, но характеризуемые ими точки в общем случае будут совершать движения с различными характеристиками.
И потому в общем случае говорить о траектории движения материального тела нельзя.Можно говорить лишь о траекториях отдельно выбранных его материальных точек.
Так, например, при вращении тела вокруг постоянной в пространстве оси лишь находящиеся на ней точки будут неподвижны.А одинаковые движение будут совершать лишь те точки, которые находятся на поверхности мысленно выделяемого в теле цилиндра, соосного с осью собственного вращения тела.
▲В случае, когда геометрическими размерами материального тела пренебречь по условиям задачи нельзя, его рассматривают как совокупность материальных точек.Что имеет смысл, например, в небесной механике по отношению к Солнечной системе, где в ряде случаев не только планеты, но и само Солнце рассматриваются как материальные точки.
▲Полезным приёмом является и модель абсолютно твёрдого тела, в котором взаимное расположение его частей остаётся неизменным даже в случае внешнего на него воздействия (т.е. недеформируемости тела).В таком случае рассматривается движение некоторой его характерной точки, что позволяет говорить о траектории тела. Во многих случаях за такую точку принимается центр масс тела.
| |||