Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
викификация, оформление, орфография, пунктуация, стилевые правки |
|||
Строка 1:
{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}
Центральными понятиями линейной алгебры является [[w:вектор|вектор]] и [[w:векторное пространство|векторное пространство]]. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель:
Обычно при аксиоматическом методе описывают
▲Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?»,[http://kvant.mccme.ru/1976/04/chto_takoe_vektor.htm]).
== Аксиомы векторного пространства ==
Пусть '''V'''
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
# a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра и произвольного элемента из '''V''' являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами).
# сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят
# сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
# существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec 0= \vec x</math>.
# для любого элемента из '''V''' существует такой элемент из '''V''', сумма которого с исходным элементом равна <math>\vec 0</math>,
Для любых скаляров (чисел) <math>\alpha</math> и
6.<math>(\alpha \beta)\vec x = \alpha(\beta \vec x) </math>
Строка 23 ⟶ 24 :
Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].
=== Примеры векторных пространств ===
* '''Конечномерное арифметическое пространство'''
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''
a yмножение на скаляр α (
Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,
# <math>\vec a +\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>,
# <math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,
# <math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,
# Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,
# Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно, то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>.
# Пусть α и β-произвольные числа. Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>,
* '''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел,
* '''Пространство матриц'''
Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа. Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители|здесь]]) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком.
* '''Ещё примеры'''
Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- действительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплесных чисел, (
Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.
=== Упражнения ===
# Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
# Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
# Покажите, что множество всех функций, заданных на'''R''' проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих
== Свойства векторных пространств ==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах
'''1'''
'''2'''
'''3'''
'''4'''
'''5'''
Свойства
[[Категория:Линейная алгебра и аналитическая геометрия|Определение векторного пространства]]
|