Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
KleverI (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
KleverI (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 63:
== Тождества сокращённого умножения ==
'''Бином Ньютона:'''
{{Якорь|ФормулаД1.28}}{{Формула|<math>(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+b^n=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m}a^{n-m}b^m,</math>|Д1.28}}
{{Якорь|РисунокД1.1}}[[Файл:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|'''Рисунок Д1.1.'''
где <math>C_n^m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}</math> — количество сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>m</math> в каждом, или ''биномиальные коэффициенты''; <math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n</math> — факториал числа <math>n</math>. По определению, <math>0!=1</math>.
Для степени разности будем иметь:
{{Якорь|ФормулаД1.29}}{{Формула|<math>(a-b)^n=a^n-C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2-\ldots+(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+(-1)^nb^n.</math>|Д1.29}}
Числа <math>C_n^m</math> образуют, так называемый ''[[w:Треугольник Паскаля|треугольник Паскаля]]''. Как видно из '''[[#РисунокД1.1|рисунка Д1.1]]''', каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.
Частные случаи формул ([[#ФормулаД1.28|Д1.28]]) и ([[#ФормулаД1.29|Д1.29]]):
* {{Формула|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> — квадрат суммы;|Д1.30}}
* {{Формула|<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math> — квадрат разности;|Д1.31}}
Строка 88:
Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:
* {{Якорь|ФормулаД1.38}}{{Формула|<math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1});</math>|Д1.38}}
* {{Формула|<math>a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^2-\ldots-ab^{2k-1}+b^{2k}).</math>|Д1.39}}
* {{Якорь|ФормулаД1.40}}{{Формула|<math>a^{2k}-b^{2k}=(a+b)(a^{2k-1}-a^{2k-2}b+a^{2k-3}b^2-\ldots+ab^{2k-2}-b^{2k-1});</math>|Д1.40}}
В частности,
* {{Формула|<math>a^2-b^2=(a-b)(a+b)</math> — разность квадратов;|Д1.41}}
Строка 121:
== Абсолютная величина ==
{{Якорь|РисунокД1.2}}[[Файл:Absolute value.svg|thumb|'''Рисунок Д1.2.''' График функции <math>\scriptstyle{y=|x|}</math>.]]
'''Абсолютной величиной''', или '''модулем''' <math>|x|</math> называется вещественнозначная непрерывная [[w:Кусочно-линейная функция|кусочно-линейная функция]] ('''[[#РисунокД1.2|рисунок Д1.2]]''') такая, что▼
[[Файл:Geometrical interpretation of the absolute value.svg|thumb|'''Рисунок Д1.3.''' Геометрическая интерпретация модуля.]]▼
▲'''Абсолютной величиной''', или '''модулем''' <math>|x|</math> называется вещественнозначная непрерывная [[w:Кусочно-линейная функция|кусочно-линейная функция]] такая, что
{{Формула|<math>|x|=\begin{cases}x, & x\geqslant 0; \\ -x, & x<0.\end{cases}</math>|Д1.52}}
Альтернативное определение:
{{Формула|<math>|x|=\max\{x,\;-x\}.</math>|Д1.53}}
'''[[Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах#Модуль и аргумент комплексного числа|Модулем]] комплексного числа <math>z=x+yi</math>''' называется выражение вида:
{{Формула|<math>|z|=|x+yi|=\sqrt{(\mathrm{Re}\,z)^2+(\mathrm{Im}\,z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}.</math>|Д1.53}}
▲{{Якорь|РисунокД1.3}}[[Файл:Geometrical interpretation of the absolute value.svg|thumb|'''Рисунок Д1.3.''' Геометрическая интерпретация модуля.]]
Геометрически ('''[[#РисунокД1.3|рисунок Д1.3]]''') модуль числа <math>|x_1-x_2|</math> равен расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, <math>|x|</math> — это расстояние от точки [[w:Вещественное число|вещественной прямой]] с координатами <math>x</math> до начала координат <math>O</math>.
=== Свойства ===
Строка 158:
* Для выражения вида
{{Формула|<math>S=\sqrt[n]{X}\pm\sqrt[n]{Y}</math>|Д1.66}}
сопряжённый множитель находится, исходя из формул ([[#ФормулаД1.38|Д1.38]])—([[#ФормулаД1.40|Д1.40]]).
Для выражения
| |||