Теория музыки для математиков/Тональный ряд: различия между версиями

Пример порождающего множества мощности 9: {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11}

 

 

'''Доказательство.'''<br>

''Необходимость.'' Пойдем от противного. Возьмем t из T. Пусть <math> t \notin S </math>. Возьмем элементы #t и @t. По нашему допущению хотя бы один из них не лежит в S. Без ограничения общности положим, что #t не лежит в S. Возьмем наибольший элемент из S, не превосходящий @t и наименьший элемент из S, превосходящий #t. Расстояние между ними строго больше 2 (между ними как минимум t и #t) , что противоречит тому, что S – порождающее множество. Предположение неверно и необходимость доказана.

 

 

 

'''Доказательство.''' Обозначим через x – количество полутоновых интервалов между соседними элементами стандартной последовательности S, а через y – количество тоновых интервалов. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Суммарная же длина всех интервалов составляет очевидно 12: x + 2y = 12. Очевидно также, что как x, так и y – неотрицательные. Получаем такую систему уравнений:

Откуда непосредственно вытекает искомый результат.

 

 

'''Доказательство.''' В нашей последовательности из n элементов встречается x полутонов. Количество способов, которыми можно выбрать места, на которых встречаются полутоны в последовательности есть Cnx = n! / x! (n-x)!. На остальных местах тогда стоят целые тоны. Подставив вместо x результаты из предыдущей леммы получаем желаемое.