Викиучебник

Теория музыки для математиков/Тональный ряд: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м орфография
Корректное доказательство достаточности
Строка 16:
''Необходимость.'' Пойдем от противного. Возьмем t из T. Пусть <math> t \notin S </math>. Возьмем элементы #t и @t. По нашему допущению хотя бы один из них не лежит в S. Без ограничения общности положим, что #t не лежит в S. Возьмем наибольший элемент из S, не превосходящий @t и наименьший элемент из S, превосходящий #t. Расстояние между ними строго больше 2 (между ними как минимум t и #t) , что противоречит тому, что S – порождающее множество. Предположение неверно и необходимость доказана.
 
''Достаточность.'' Опять от противного. Пусть существуют<math> такие\forall соседниеt в\in ST звуки: t и\in t*,S что\lor t*-\#t >\in 2.S Тогда\lor между\flat нимиt(=t-1) найдутся как минимум два звука x\in S</math> y из T, не принадлежащихи S. Т.е. ни x, ни #x-- не принадлежатпорождающее S, что противоречит нашей посылкемножество. Достаточность тоже доказана.Тогда
<center> <math> \exist t^* \in S : \#t \notin S \land \#\#t \notin S \land \#\#\#t \notin S </math>. </center>
Пусть <math> x = \#\#t = t+2 </math>. Тогда
<center> <math> x = \#\#t \notin S, \#x=\#\#\#t \notin S, \flat x = \#t \notin S </math>, </center>
что противоречит первой посылке. Достаточность доказана.
 
'''Лемма 2.''' Если n – мощность порождающего множества S, то 6 < n < 12.
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_музыки_для_математиков/Тональный_ряд