Иррациональные уравнения: различия между версиями

м
rvv
м (rvv)
<small>Исходный текст статьи опубликован в журнале «Потенциал» №1,2005. Автор статьи - ЗайнетдиновКолесникова НаильСофья Ильинична.</small>
 
==Введение==
 
Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ &#8470;1 для 10 класса.
ВСЕМ НАСРАТЬ!!!
В нём рассматривается два типа иррациональных уравнений: <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> и <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}</math>.
 
Уравнения типа
НЕНАВИЖУ АЛГЕБРУ!!!!!!!!!
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
НАСТЯ ГРИБ, Я ЛЮБЛЮ ТЕБЯ <33
рассматриваются для того, чтобы ещё раз обратить внимание на то, что ОДЗ этого уравнения находить не надо, а неотрицательность правой части для решений проверять обязательно.
как услышишь грохот школы главное не спи, обними покрепче брата и в слух произнеси: "НАХУЙ ШКОЛУ БЛЯДЬ, ФИЗРУК СОСНИ ХУЙЦА!" ведь это всего навсего рушится она:DDD
Кроме того, рассматриваются различные способы решения простейшего вида этих уравнений:
ГОВНО ВАША АЛГЕБРА
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d</math>.
Показывается аналитически и графически, откуда берутся посторонние ("лишние") корни.
 
Для уравнений второго типа
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} </math>
показывается, что при их решении нет необходимости решать систему неравенств (ОДЗ)
<math>\left\{\begin{matrix} f(x)\ge{0} & \\ g(x)\ge{0} & \end{matrix}\right.</math>,
а достаточно подставить найденные корни уравнения
<math>f\left( x \right) = g\left( x \right) </math>
в одно из них.
 
Приведенные маленькие замечания позволяют сократить время на решение таких стандартных задач, а потому дают возможность успешнее справляться с задачами на контрольных и выпускных экзаменах в школе, вступительных в вуз, при решении заданий ЕГЭ любого уровня.
 
Материал рекомендуется учащимся, начиная с 9 класса.
 
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>==
 
При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ:
<math> f\left( x \right) \ge 0, </math>
затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют, после нахождения решений, условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться "лишние" корни. Почему? Потому что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right), </math>
но на разных промежутках числовой оси:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> &mdash; там, где
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right) </math> &mdash; там, где
<math> g\left( x \right) \le 0. </math>
"Лишние" корни &mdash; это корни второго уравнения, геометрически это &mdash; пересечение графика функции
<math> y = g\left( x \right) </math>
с графиком функции
<math> y = - \sqrt {f\left( x \right)} . </math>
 
Как быть?
 
Дело в том, что обе части '''любого''' уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение
<math> f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), </math>
при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется '''автоматически,''' поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства
<math> f\left( x \right) \ge 0.</math>
 
Заметим, что уравнение
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение для
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
но не имеет решений, если
<math> g\left( x \right) < 0. </math>
 
Вспомним, что, если <math>f(x) \ge 0, g(x)\ge 0</math>, то <math>f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).</math>
 
Так как уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение лишь при условии
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math>
(т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{matrix} \right. (1) </math>
{{Акмар}}
 
'''Это очень важное условие равносильности.'''
Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.
 
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math> неотрицательности правой части &mdash; это условие "отсекает" посторонние корни -- корни уравнения
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>
 
При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни "плохие") заранее решать не надо.
 
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением '''тригонометрических''' неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия
<math>g\left( x \right) \ge 0 </math>
не всегда просто сделать.
 
'''Замечание.''' При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
 
===Пример 1.===
<math> \sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1. </math>
 
В этом примере особенно хорошо видно, что при решении важным является условие
<math>x + 1 \ge 0, </math>
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.
 
<math>\sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1 \Leftrightarrow</math>
 
<math>\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 1\ge{0} & \\ 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = x^2 + 2x + 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow</math>
 
<math>\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 1\ge{0} & \\ 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 & \end{matrix}\right.</math>
 
Посмотрим внимательно на уравнение
<math>2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 </math>
 
Сумма коэффициентов этого уравнения равна 0, значит, х=1 является корнем. Теперь можно выделить множитель (х-1) делением столбиком, при помощи схемы Горнера или группировкой, выделяя последовательно слагаемые, которые делятся на (х-1):
 
<math>2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 2(x^3 - 1) + (x^2 - 1) - 5(x - 1) = (x - 1)(2(x^2 + x + 1) + x + 1 - 5) = (x - 1)(2x^2 + 3x - 2) =</math>
 
<math>= (x - 1)(x + 2)( x - \frac{1}{2}). </math>
 
Значит, исходное уравнение эквивалентно системе
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 1 \ge 0 & \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = 0 & \end{matrix} \right. </math>
 
откуда <math>x=1</math> или <math>x=1/2</math>.
 
Любопытно, что
<math> x = - 2 </math>
принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие
<math> x + 1 \ge 0. </math>
 
'''Ответ:''' 0,5; 1.
 
===Пример 2.===
<math> 4\sqrt {5x - x^2 - 6} = x - 1. </math>
 
<math> 4\sqrt {5x - x^2 - 6} = x - 1 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} 16\left( {5x - x^2 - 6} \right) = \left( {x - 1} \right)^2 \\ x - 1 \ge 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} 17x^2 - 82x + 97 = 0 \\ x \ge 1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> x = \frac{{41 \pm \sqrt {32} }}{{17}}. </math>
 
'''Ответ:''' <math> \frac{{41 \pm \sqrt {32} }}{{17}}. </math>
 
В этом примере не оказалось лишних корней.
 
===Пример 3.===
<math> \sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2.</math>
 
<math>\sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 5x + 13 = \left( {x + 2} \right)^2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math> x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x \ge - 2 \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:''' 1,3.
 
===Пример 4.(МГУ, 1974, экон. ф-т)===
Найти все действительные решения уравнения
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1}. </math>
 
В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному уравнению:
 
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1} \Leftrightarrow </math>
 
<math> 2x^2 - 4x = 2x^2 + 2\sqrt {x^4 - 1} \Leftrightarrow </math>
 
<math> \sqrt {x^4 - 1} = - 2x \Leftrightarrow </math>
 
(Здесь мы воспользовались условием равносильности)
 
<math>\left\{ \begin{matrix} x \le 0, \\ x^4 - 1 = 4x^2 \Leftrightarrow x^2 = 2 + \sqrt 5 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> x = - \sqrt {2 + \sqrt 5 }. </math>
 
'''Ответ:''' <math> - \sqrt {2 + \sqrt 5 } .</math>
 
===Пример 5.(МГУ, 1999)===
Решите уравнение
<math>\sqrt {\left| {x^2 + 14x + 47} \right| - 1} = \left| {x + 7} \right| - 1. </math>
 
Здесь удобно сначала сделать замену переменных. Пусть
<math>t = \left| {x + 7} \right|, </math>
тогда уравнение
<math> \left| {x + 7} \right| - 1 = \sqrt {\left| {\left( {x + 7} \right)^2 - 2} \right| - 1} </math>
примет вид
<math> \sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1. </math>
 
Решим его.
<math>\sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left| {t^2 - 2} \right| - 1 = t^2 - 2t + 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left| {t^2 - 2} \right| = t^2 - 2t + 2 \equiv \left( {t - 1} \right)^2 + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t^2 - 2 = t^2 - 2t + 2 \\ t^2 - 2 = - t^2 + 2t - 2 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ \left[ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \left| {x + 7} \right.| = 2 \\ \left| {x + 7} \right.| = 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x = - 5 \\ x = - 9 \\ \end{matrix} \right. \\ \left[ \begin{matrix} x = - 6 \\ x = - 8 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:''' -5, -6, -8, -9.
 
===Пример 6.===
Решите уравнение
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x. </math>
 
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{\begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ 7 - \cos x - 6\cos 2x = 16 {\sin}^2 x \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = \left[ \begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{4}\end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = 1 \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ \cos x = - \frac{3}{4} \end{matrix} \right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>x = \left[ \begin{matrix} 2\pi k \\ \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right.) + 2\pi k \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:'''
<math> 2\pi k, </math>
<math> \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + 2\pi k,k \in {\rm Z}. </math>
 
==Уравнения вида <math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>==
 
Рассмотрим подробнее самое простое из уравнений вида
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
&mdash; уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \quad (1). </math>
Мы предполагаем, что <math>a \ne 0 .</math>
 
Его можно решать различными способами.
 
Приведем три из них.
 
1. Можно воспользоваться приведенным выше условием равносильности:
 
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} cx + d \ge 0 \\ ax + b = \left( {cx + d} \right)^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
2. Можно сразу решить уравнение
<math> ax + b = \left( {cx + d} \right)^2 </math>
(ОДЗ уравнения выполняется автоматически), а затем сделать проверку: подставить найденные решения в заданное уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
 
Обязательна ли проверка? Да, надо отсечь решения уравнения
<math> - \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
 
Рассмотрим решения уравнения на графике.
Начертим эскизы левой и правой частей - например, рис.1.
 
[[Изображение:irrat1.jpg]]
 
'''Рис.1'''
 
В данном случае хорошо видно (Рис.1), что полупарабола
<math>y = \sqrt {ax + b} </math>
пересекается лишь с той частью прямой
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает неотрицательные значения, а та часть прямой
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает отрицательные значения, пересекается с полупараболой
<math>y = - \sqrt {ax + b} ,a > 0,b > 0. </math>
 
[[Изображение:irrat2.jpg]]
 
'''Рис.2'''
 
Но "лишние" корни могут и не появиться (рис.2.) - все зависит от коэффициентов в уравнении, а, значит, от взаимного расположения прямой и полупараболы.
 
3. Уравнение вида
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
можно также решать с помощью замены переменных, положив
<math>t = \sqrt {ax + b}, t \ge 0. </math>
Тогда
<math>ax + b = t^2, </math> откуда
<math> x = \frac{{t^2 - b}}{a} </math>
и уравнение (1) в новых переменных примет вид
<math> t = \frac{{c\left( {t^2 - b} \right)}}{a} + d </math>, что равносильно уравнению <math> ct^2 - at - bc + ad = 0. </math>
 
Задача свелась к нахождению неотрицательных решений квадратного уравнения
<math> ct^2 - at - bc + ad = 0, </math> что под силу любому школьнику.
 
===Пример 7. (МФТИ, 2000)===
Найти все значения параметра
a,
при каждом из которых уравнение
<math> \sqrt {x - 8} = - ax + 3a + 2 </math>
имеет единственное решение.
 
Решим задачу третьим способом. Пусть
<math> \sqrt {x - 8} = t,\; t \ge 0, </math>
тогда
<math> x = t^2 + 8</math>
и исходное уравнение примет вид
<math> at^2 + t + 5a - 2 = 0. </math>
Теперь задача состоит в том, чтобы найти все
<math>a</math>, при которых уравнение
<math>at^2 + t + 5a - 2 = 0 </math>
имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях:
 
# <math>a = 0,</math> и тогда <math>t = 2.3.</math>
# <math>a \ne 0, D \equiv 1 - 20a^2 + 8 = 0 \Leftrightarrow </math>
<math> \left[ \begin{matrix} a = - \frac{1}{{10}} \Rightarrow t = 5 \\ a = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow</math>
одно неотрицательное решение при
<math> a = - \frac{1}{{10}}. </math>
 
3. <math> a\ne 0, D>0 \Leftrightarrow a\in \left( {-\frac{1}{10}}; \frac{1}{2} \right) \Leftrightarrow </math>
<math> t_1 t_2 = \frac{{5a - 2}}{a} \le 0 \Leftrightarrow a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right] \Rightarrow </math>
имеем единственное неотрицательное решение при
<math> a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
 
Итак, получаем
 
'''Ответ:'''
<math> \left\{ { - \frac{1}{{10}}} \right\} \cup \left[ {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
 
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math>==
 
Пусть задано уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} . </math>
 
Запишем ОДЗ:
<math> \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) \ge 0 \\ g\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right., </math>
 
но решать неравенства (за редким исключением) не надо.
 
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение. Поэтому
 
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) \quad (2)</math>
 
{{Акмар}}
 
для всех x из ОДЗ.
 
Теперь видно, что для всех решений <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имеют одинаковые знаки, поэтому при таком способе решения нет необходимости проверять неотрицательность обеих функций - '''достаточно проверить неотрицательность одной из них:''' выбирают ту, для которой неравенство проще проверить.
 
Можно записать полное условие равносильности, которое включает в себя ОДЗ уравнения:
 
{{Рамка}}
 
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow </math>
<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ f\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ g\left( x \right) \ge 0 \end{matrix} \right. \quad (3) </math>
 
{{Акмар}}
Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).
 
===Пример 8.===
Решите уравнение
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7}. </math>
 
Видно, что подкоренное выражение в левой части намного проще, чем в правой, поэтому запишем так полное условие равносильности:
 
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7} \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left\{ \begin{matrix} x^2 + x + 1 > 0 \Leftrightarrow x \in R \\ x^2 + x + 1 = x^4 - 4x^2 + x + 7 \Leftrightarrow x^4 - 5x^2 + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} x^2 = 3 \\ x^2 = 2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \pm \sqrt 3 \\ x = \pm \sqrt 2 . \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:'''
<math> \pm \sqrt 2 , \pm \sqrt 3 .</math>
 
===Пример 9. (МФТИ,1984)===
Решите уравнение <math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} . </math>
 
Воспользуемся полным условием равносильности (3):
 
<math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} </math>
 
<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ 6\sin x\cos 2x = - 7\sin 2x. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ \sin x\left( {6\cos ^2 x + 7\cos x - 3} \right) = 0. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} \sin x = 0; \\ \left\{ \begin{matrix} 2\sin x\cos x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} x = \pi n, \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \\ \end{matrix} \right.</math>
 
<math> \Leftrightarrow x = - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n. </math>
 
'''Ответ:''' <math>\pi n, </math>
<math> - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n,n \in {\rm Z}. </math>
 
==Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А.==
 
Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.
 
===Пример 10.===
Какое утверждение
1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или оба корня отрицательны);
2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен;
3) уравнение имеет два корня разных знаков;
4) уравнение имеет только один корень, и он положителен
верно по отношению к корням уравнения
#а)<math> \sqrt {x + 4} = 3\left( {x + 1} \right) </math>;
#б)<math> \sqrt {7 - x} = x + 1</math>;
#в)<math> 3\sqrt {10 - x} = 12 - x</math>;
#г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x</math> ?
 
Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей.
 
а) <math>\sqrt {x + 4} = 3\left( {x + 1} \right). </math>
 
[[Изображение:irrat3.jpg]]
 
'''Рис.3'''
 
На чертеже надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение происходит на отрицательной полуоси - это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее полупараболы, а ось Oy выше полупараболы.
 
'''Ответ:''' 2).
 
б) <math> \sqrt {7 - x} = x + 1. </math>
 
[[Изображение:irrat4.jpg]]
 
'''Рис.4'''
 
Из рисунка (рис. 4) ясно, что пересечение происходит на положительной полуоси.
Это обеспечивается тем, что прямая пересекает отрицательную полуось Ox, а ось Oy прямая пересекает ниже полупараболы.
 
'''Ответ:''' 4).
 
в)<math> 3\sqrt {10 - x} = 12 - x. </math>
 
[[Изображение:irrat5.jpg]]
 
'''Рис.5'''
 
Это более трудный пример, т. к. не ясно, прямая пересекается с полупараболой (а тогда дважды), касается или вовсе не имеет общих точек с полупараболой. Надо что-то сделать дополнительно, например , подставить такие значения х, при которых корни извлекаются нацело, или поискать точку (x = 5), в которой ясно, что расположено выше &mdash; прямая или полупарабола.
 
'''Ответ:''' 1).
 
г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x? </math>
 
[[Изображение:irrat6.jpg]]
 
'''Рис.6'''
 
Из рисунка ясно, что корней два, и они разных знаков. Это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее, а ось Oy ниже полупараболы.
 
'''Ответ:''' 3).
 
[[Категория:журнал «Потенциал»]]
[[Категория:математика в журнале «Потенциал»]]