Иррациональные уравнения: различия между версиями

РУШИТСЯ ОНА.
 
ГОВНО ВАША АЛГЕБРА
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math>==
 
Пусть задано уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} . </math>
 
Запишем ОДЗ:
<math> \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) \ge 0 \\ g\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right., </math>
 
но решать неравенства (за редким исключением) не надо.
 
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение. Поэтому
 
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) \quad (2)</math>
 
{{Акмар}}
 
для всех x из ОДЗ.
 
Теперь видно, что для всех решений <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имеют одинаковые знаки, поэтому при таком способе решения нет необходимости проверять неотрицательность обеих функций - '''достаточно проверить неотрицательность одной из них:''' выбирают ту, для которой неравенство проще проверить.
 
Можно записать полное условие равносильности, которое включает в себя ОДЗ уравнения:
 
{{Рамка}}
 
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow </math>
<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ f\left( x \right) \ge 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g\left( x \right) \\ g\left( x \right) \ge 0 \end{matrix} \right. \quad (3) </math>
 
{{Акмар}}
Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).
 
===Пример 8.===
Решите уравнение
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7}. </math>
 
Видно, что подкоренное выражение в левой части намного проще, чем в правой, поэтому запишем так полное условие равносильности:
 
<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7} \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left\{ \begin{matrix} x^2 + x + 1 > 0 \Leftrightarrow x \in R \\ x^2 + x + 1 = x^4 - 4x^2 + x + 7 \Leftrightarrow x^4 - 5x^2 + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} x^2 = 3 \\ x^2 = 2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \pm \sqrt 3 \\ x = \pm \sqrt 2 . \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:'''
<math> \pm \sqrt 2 , \pm \sqrt 3 .</math>
 
===Пример 9. (МФТИ,1984)===
Решите уравнение <math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} . </math>
 
Воспользуемся полным условием равносильности (3):
 
<math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} </math>
 
<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ 6\sin x\cos 2x = - 7\sin 2x. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ \sin x\left( {6\cos ^2 x + 7\cos x - 3} \right) = 0. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} \sin x = 0; \\ \left\{ \begin{matrix} 2\sin x\cos x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} x = \pi n, \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \\ \end{matrix} \right.</math>
 
<math> \Leftrightarrow x = - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n. </math>
 
'''Ответ:''' <math>\pi n, </math>
<math> - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n,n \in {\rm Z}. </math>
 
==Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А.==
9

правок